江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：导数及其应用（含解析）学案

这是一份江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：导数及其应用（含解析）学案，共26页。学案主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练
导数及其应用
一、填空题
1、（2018届盐城上期中）若函数在区间上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为 ▲ ．
2、（南京市2019高三9月学情调研）若函数f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2两处取到极值，
且 ≥2，则实数a的取值范围是＿＿＿
3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是 ▲ ．
4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）函数在点
A（2，1）处切线的斜率为 ▲ ．
5、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）若函数f(x)=kx-cosx在区间()单调递增，则 k的取值范围是 ▲ .
6、（南师附中2019届高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：上，且在第四象限内．已知曲线C在点P处的切线为，则实数b的值为 ．
7、（徐州市2018届高三上期中考试）已知函数，若存在，使，则实数的取值范围为 ▲
8、（2018届常州上期末）已知函数，其中．若过原点且斜率为的直线与曲线相切，则的值为 ▲ ．
9、（盐城市2017届高三上学期期中）已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线斜率为 ▲ ．
10、（苏州市2019届高三上学期期末）曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
11、（盐城市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系中，曲线在x＝0处的切线方程是 ．
12、（盐城市2019届高三上学期期中）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值集合为 ．
13、（南京市、镇江市2019届高三上学期期中）已知e为自然对数的底数，函数y＝ex－lnx在［1，e］的最小值为＿＿
14、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为 ．
15、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为 ．

二、解答题
1、（南京市2018高三9月学情调研）已知函数f(x)＝2x3－3(a+1)x2＋6ax，a∈R．
（1）曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（2）若对于任意x∈(0，+∞)，f(x)＋f(－x)≥12lnx恒成立，求a的取值范围；
（3）若a＞1，设函数f(x)在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，
记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．


2、（南京市2019高三9月学情调研）
已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2．
（1）求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图象相切的直线l的方程；
（2）若a＞0，求函数φ(x)＝|g(x)－2a2f(x)|在区间[1，＋∞) 上的最小值．

3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知函数.
(1)求的极大值；
(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；
(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.

4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）已知函数，a∈R.
⑴函数y= f(x)在点(2,f(2))处的切线与直线x-2y+1=0垂直，求a的值；
⑵讨论函数f(x)的单调性；
⑶当a=1时，证明：不等式成立.（其中n!=1×2×3×…×n，n∈N*,n≥2）

5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知函数，，设.
（1）若在处取得极值，且，求函数的单调区间；
（2）若时函数有两个不同的零点.
①求的取值范围；②求证：.

6、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．设函数f(x)＝x3－tx2＋1(t∈R)．
（1）若函数f(x)在(0，1)上无极值点，求t的取值范围；
（2）求证：对任意实数t，在函数f(x)的图象上总存在两条切线相互平行；
（3）当t＝3时，若函数f(x)的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问：这样的平行切线共有几组？请说明理由．


7、（如皋市2019届高三上学期期末）已知函数，其中．
（I）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
（II）设函数．
(1).求函数的单调区间；
(2)若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围．

8、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若对于任意的正数，恒成立，求实数的值；
（3）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．


9、（苏州市2019届高三上学期期中）设函数，a为常数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若为函数的两个零点，．
①求实数的取值范围；
②比较与的大小关系，并说明理由．

10、（南京市2019届高三第三次模拟）已知函数f(x)＝lnx＋＋1，a∈R．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋b，求a，b的值；
（2）记g(x)＝f(x)＋ax，若函数g(x)在区间(0，)上有最小值，求实数a的取值范围；
（3）当a＝0时，关于x的方程f(x)＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．


11、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．
① 求实数的取值范围；
② 证明：．

12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）
已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）设函数在处的切线方程为，若函数是上
的单调增函数，求的值；
（3）是否存在一条直线与函数的图象相切于两个不同的点？并说明理由．

13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））
已知函数（），是自然对数的底数．
（1）当时，求的单调增区间；
（2）若对任意的，（），求的最大值；
（3）若的极大值为，求不等式的解集．

14、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））已知函数．
（1）若在(1，)处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）设函数，[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a＝﹣1时，求的最大值；②若是单调递减函数，求实数a的取值范围．

15、（盐城市2019届高三第三次模拟） 设函数（为自然对数的底数，）.
（1） 当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2） 若函数在区间(0,1)上具有单调性，求的取值范围；
（3） 若函数有且仅有3个不同的零点，且，,
求证:

16、（南师附中2019届高三年级5月模拟）设a为实数，已知函数，．
（1）当a＜0时，求函数的单调区间；
（2）设b为实数，若不等式对任意的a≥1及任意的x＞0恒成立，求b的取值范围；
（3）若函数(x＞0，R)有两个相异的零点，求a的取值范围．


参考答案
一、填空题
1、　　　
2、[ ，＋∞）　　　3、4　　
4、　　5、［－）　　　6、－13
7、　　8、　　9、
10、　　　11、　　12、　　13、e
14、1　　　　15、　

二、解答题
1、解：（1）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a，
所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线斜率k＝f ′(0)＝6a，
所以6a＝3，所以a＝． ………………………2分
（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12lnx对任意x∈(0，+∞)恒成立，
所以－(a＋1)≥． ………………………4分
令g(x)＝，x＞0，则g¢(x)＝．
令g¢(x)＝0，解得x＝．
当x∈(0，)时，g¢(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；
当x∈(，＋∞)时，g¢(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．
所以g(x)max＝g()＝， ………………………6分
所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，
所以a的取值范围为(－∞，－1－]． ………………………8分
（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，
所以f ′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．
令f ′(x)＝0，则x＝1或a． ………………………10分
f(1)＝3a－1，f(2)＝4．
①当1＜a≤时，
当x∈(1，a)时，f ¢(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；
当x∈(a，2)时，f ¢(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．
又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，
所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．
因为h¢ (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，
所以h(a)在(1，]上单调递减，
所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．………………………12分
②当＜a＜2时，
当x∈(1，a)时，f ¢(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；
当x∈(a，2)时，f ¢(x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．
又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，
所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．
因为h¢ (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．
所以h(a)在(，2)上单调递增，
所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝． ………………………14分
③当a≥2时，
当x∈(1，2)时，f ¢(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，
所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，
所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，
所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．
综上，h(a)的最小值为． ………………………16分
2、解：（1）因为f(x)＝lnx，所以f ′(x)＝ (x＞0)．
设直线l与函数f(x)的图象相切于点(x0，y0)，
则直线l的方程为 y－y0＝(x－x0)，即 y－lnx0＝(x－x0)．
…………………… 3分
因为直线l经过点(0，0)，
所以0－lnx0＝(0－x0)，即lnx0＝1，解得x0＝e．
因此直线l的方程为 y＝x，即x－ey＝0． …………………… 6分
（2）考察函数H(x)＝g(x)－2a2f(x)＝x2－2a2lnx．
H′(x)＝2x－＝ (x＞0)．
因为a＞0，故由H′(x)＝0，解得x＝a． …………………… 8分
① 当0＜a≤1时，H′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，H(x)在区间[1，＋∞)上递增，
所以 H(x)min＝H(1)＝1＞0，所以φ(x)min＝1． …………………… 11分
② 当a＞1时，H(x)在区间[1，a]上递减，在区间[a，＋∞)上递增，
所以 H(x)min＝H(a)＝a2(1－2lna) ．
(ⅰ) 当1－2lna≤0，即a∈[，＋∞) 时，H(x)min＝a2(1－2lna)≤0，
又H(1)＝1＞0，所以φ(x)min＝0．
(ⅱ) 当1－2lna＞0，a∈(1，) 时，H(x)min＝a2(1－2lna)＞0，
所以φ(x)min＝a2(1－2lna) ．
综上 φ(x)min＝ …………………… 16分
3、（1），令，得. …………………………………2分
当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，故当时，的极大值为．………………………4分
（2）不等式恒成立，即恒成立，
记，则，
当时，令，得，………………………………………………6分
当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，则，即，…8分
则， 记，则，令，得
当时，，此时单调递减，当时，，此时 单调递增，，故的最小值为. ………………………10分
（3）记，由，……12分
故存在，使在上有零点，下面证明唯一性：
① 当时，，故，在上无解
…………………………………………………………………14分
②当时，，而，
此时，单调递减，
所以当符合题意． ……………………………16分
4、



5、解：(1)因为，所以,
由可得a=b-3.
又因为在处取得极值，
所以，
所以a= -2,b=1 . …………………………………2分
所以，其定义域为（0，+）

令得，
当（0,1）时，，当（1,+），
所以函数h(x)在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+）上单调减. …………………………4分
（2）当时，，其定义域为（0，+）.
①,当,则，在上单调递增，不合题意。…………5分
当时，在上单调递增，在上单调递减。
因为有2个不同零点，所以，即…………………………………7分
. 此时存在使得，
又在和都连续，
所以在和各有一个零点 ………………………10分
②由题意得,
所以,
所以，不妨设x10恒成立．
由于ex>0，所以aex≥ex，所以ex－2x≥b对任意的x>0恒成立．(4分)
设φ(x)＝ex－2x，x>0，则φ′(x)＝ex－2，
所以函数φ(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)min＝φ(ln 2)＝2－2ln 2，
所以b≤2－2ln 2.(6分)
(3) 由h(x)＝axex＋x＋ln x，得h′(x)＝a(x＋1)ex＋1＋＝，其中x>0.
① 若a≥0时，则h′(x)>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数h(x)至多有一个零零点，不合题意；(8分)
② 若a0.
由第(2)小题知，当x>0时，φ(x)＝ex－2x≥2－2ln 2>0，所以ex>2x，所以xex>2x2，所以当x>0时，函数xex的值域为(0，＋∞)．
所以存在x0>0，使得ax0ex0＋1＝0，即ax0ex0＝－1　①，
且当x0，所以函数h(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减．
因为函数有两个零点x1，x2，
所以h(x)max＝h(x0)＝ax0ex0＋x0＋ln x0＝－1＋x0＋ln x0>0　②.
设φ(x)＝－1＋x＋ln x，x>0，则φ′(x)＝1＋>0，所以函数φ(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由于φ(1)＝0，所以当x>1时，φ(x)>0，所以②式中的x0>1.
又由①式，得x0ex0＝－.
由第(1)小题可知，当ae，
即a∈(－，0)．(11分)
当a∈(－，0)时，
(i) 由于h()＝＋(－1)