江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：立体几何（含解析）学案

这是一份江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：立体几何（含解析）学案，共18页。学案主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练
立体几何
一、填空题
1、（南京市2018高三9月学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得
圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为 ▲ cm2.
2、（南京市2019高三9月学情调研）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1－ B1C1CB的体积是 ▲ ．

3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是____▲____．
4、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为 ．


5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知直线、与平面、，，则下列命题中正确的是 ▲ ．（填写正确命题对应的序号）．
①若，则 ②若，则
③若，则 ④若，则
6、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱上任意一点，则四棱锥的体积为 ▲ ．


7、（苏州市2018高三上期初调研）如图，正四棱锥的底面一边的长为，侧面积为，则它的体积为 .

8、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是 ．
9、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ．
10、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥，过的中点作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱的体积与圆锥的体积的比值为________.

11、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥B－EFC的体积为 ▲ ．

12、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）
已知正三棱柱ABC－则三棱锥D－BB1C1的体积为＿＿＿

13、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1－EBD的体积为 ▲ ．

14、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6cm2，则该圆锥的体积是＿＿cm3。
15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））
已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是cm，则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm3．
16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）
设P，A，B，C为球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，
PC = 4 m，则球O的表面积为 ▲ m2．
17、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））
已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3 cm，BC=1 cm，CD=2 cm．将此直角梯形
绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm3．
18、（江苏省2019年百校大联考）如图所示的四棱锥中，底面，底面是矩形，，，点为棱上一点，若三棱锥的体积为4，则的长为 ．


二、解答题
1、（南京市2018高三9月学情调研）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：
（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；
（2）A1C//平面AB1E．


2、（南京市2019高三9月学情调研）如图，已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BC＝EC，F是BE的中点．
（1）求证：DE∥平面ACF；
（2）求证：平面AFC⊥平面ABE．


3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
PC⊥底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点．
求证：(1) PD∥平面ACE；
(2) 平面PAC⊥平面PBD．


4、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．
（1）求证：FG∥平面EBO；
（2）求证：PA⊥BE．


5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图，在正三棱柱中，点在棱上，，点， 分别是，的中点．
（1）求证：为的中点；
（2）求证：平面．

6、（苏州市2018高三上期初调研）如图，在三棱锥中，已知平面平面.

（1）若，求证：；
（2）若过点作直线平面，求证：平面.


7、（无锡市2019届高三上学期期中）在四棱锥P ­ ABCD中，已知M，N分别是BC，PD的中点，若四边形ABCD是平行四边形，且∠BAC＝90°.
(1) 求证： MN∥平面PAB；
(2) 若PA⊥平面ABCD，求证：MN⊥AC.


8、（常州市2019届高三上学期期末）如图，正三棱柱中，点分别是棱的中点.
求证：（1）//平面；
（2） 平面平面.



9、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为棱B1C1上的中点，且A1F⊥B1C1．
求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）A1F//平面ADE．


10、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点．
（1）求异面直线EC与PD所成角的余弦值；
（2）求二面角B－EC－D的余弦值．

11、（如皋市2019届高三上学期期末）P
A
B
C
D
E
（第15题图）
如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD^平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥PC；
（2）求证：AE∥平面PBC．






12、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在直三棱柱中，分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）若，求证：平面平面．




13、（南京市2019届高三第三次模拟）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60º．
求证：（1）平面PAC⊥平面PAB；
（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：BC∥l．


14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））
如图，在四棱锥中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP．
求证：（1）MN∥平面PBC；
（2）MD⊥平面PAB．

15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于
点D，B1C与BC1交于点E．
求证：（1）DE∥平面ABB1A1；
（2）BC1⊥平面A1B1C．



16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，
，E，F分别是PC，AD的中点．
求证：（1）BE⊥CD；
（2）EF∥平面PAB．

17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））如图，三棱锥D—ABC中，己知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分別为BD，CD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC；
（2）BD⊥平面ACE．


参考答案
一、填空题
1、18p 　　　2、2 3、 4、 5③ 6、 7、4　
8、　　9、
10、　　11、　　　12、　　　13、
14、　　15、54　　16、
17、 18、4

二、解答题
1、证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1^平面ABC．
因为AEÌ平面ABC，
所以CC1^AE． ……………2分
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE^BC．
因为BCÌ平面B1BCC1，CC1Ì平面B1BCC1，
且BC∩CC1＝C，
所以AE^平面B1BCC1． ………………5分
因为AEÌ平面AB1E，
所以平面AB1E^平面B1BCC1. ……………………………7分

（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，
所以F为A1B的中点． ……………………………9分
又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C． ……………………………11分
因为EFÌ平面AB1E，A1CË平面AB1E，
所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分
2、证明：（1）连结BD，交AC于点O，连结OF．
A
E
D
F
B
C
（第15题图）
O
因为四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，
所以O为BD的中点．
又因为F是BE的中点，
所以 在△BED中，OF∥DE．……………… 4分
因为OFÌ 平面AFC，DEË 平面AFC，
所以DE∥平面AFC． ……………… 6分
（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC．
又因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB面ABCD，
所以AB⊥平面BCE． …………………… 9分
因为CF平面BCE，所以AB⊥CF．
在△BCE中，因为CE＝CB， F是BE的中点，
所以CF⊥BE． …………………… 11分
因为ABÌ 平面ABE，BE Ì平面ABE，AB∩BE＝B，所以CF⊥面ABE．
又CF平面AFC，所以平面AFC⊥平面ABE． …………………… 14分

3、证明：(1) 连接OE．

因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以O为BD中点． ……………………2分
因为E为PB的中点，所以PD∥OE． …………4分
又因为OE⊂面ACE，PB平面ACE，
所以PD∥平面ACE． …………………………6分
(2) 在四棱锥P－ABCD中，．．．．．．．
因为PC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，
所以BD⊥PC． …………………………………8分
因为O为正方形ABCD的对角线的交点，
所以BD⊥AC． ………………………………………………10分
又PC、AC⊂平面PAC，PC∩AC＝C，
所以BD⊥平面PAC． …………………………………12分
因为BD⊂平面PBD，
所以平面PAC⊥平面PBD． ………………………………14分
4、

5、解：（1） 正三棱柱，平面，
又平面，，又，
平面，………………………………………………………3分
又正三棱柱，
平面平面，，为的中点．………6分
A
A1
B
C
B1
C1
D
E
F
G
（2） 连接，连接交于点，连接
矩形，为的中点，
又由(1)得为的中点，
△中，…………………9分
又点，分别是，的中点，
△中，，，……12分
又平面，平面
平面．………14分

6、（1）因为平面平面，平面平面，
平面，，所以平面.
因为平面，所以
又因为，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以.
（2）在平面内过点作，垂足为.
因为平面平面，又平面平面,
平面，所以平面.
又平面，所以.
又平面，平面，平面.

7、证明：(1) (证法1)取PA的中点G，连结BG，GN.
∵ 点N是PD的中点，∴ NG∥AD，且NG＝AD.(2分)
∵ 点M是BC的中点，∴ BM＝BC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BM∥AD，且BM＝AD.(4分)
∴ 四边形BMNG是平行四边形.
又MN∥平面PAB，BG⊂平面PAB，
∴ MN∥平面PAB.(6分)
(证法2)取AD中点H，连结NH，MH.
∵ 点N是PD的中点，∴ NH∥PA.
又NH⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ NH∥平面PAB.(2分)
∵ M，H分别是BC，AD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴ MH∥AB.
又MH⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴ MH∥平面PAB.(4分)
又MH∩NH＝H，∴ 平面MNH∥平面PAB.
∵ MN⊂平面PAB，∴ MN∥平面PAB.(6分)
(2) ∵ PA⊥平面ABCD，由(1)知NH∥PA，
∴ NH⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD.
∴ NH⊥AC，即AC⊥NH.(8分)
∵ ∠BAC＝90°，∴ AC⊥AB.
又MH∥AB，∴ AC⊥MH.(10分)
∵ MH∩NH＝H，NH⊂平面MNH，MH⊂平面MNH，
∴ AC⊥平面MNH.(12分)
而MN⊂平面MNH，∴ AC⊥MN，即MN⊥AC.(14分)
8、（1）设A1B与AB1的交点为O，连MO，NO

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，O为AB1的中点，OM∥BB1，且OM＝BB1，
依题意，有CN∥BB1，且CN＝BB1，
∴　OM∥CN，且OM＝CN
∴　四边形CMON为平行四边形，
∴　CM∥ON
而CM平面AB1N，ON平面AB1N，
∴　CM∥平面AB1N。
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴　BB1⊥CM，
又CM⊥AB，AB∩BB1＝B，∴　CM⊥平面ABB1A1，
因为CM∥ON，∴　ON⊥平面ABB1A1
ON平面A1BN，
∴　平面A1BN⊥平面ABB1A1

9、证明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC． ……………………2分
因为ADÌ平面ABC，所以BB1⊥AD．
又因为AD⊥DE，在平面BCC1B1中，BB1与DE相交，所以AD⊥平面BCC1B1．
又因为ADÌ平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1． …………………6分
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面A1B1C1． …………………8分
因为A1FÌ平面A1B1C1，所以BB1⊥A1F．
又因为A1F⊥B1C1，BB1∩B1C1＝B1，所以A1F⊥平面BCC1B1． …………………10分
在(1)中已证得AD⊥平面BCC1B1，所以A1F//AD．
又因为A1FË平面ADE，ADÌ平面ADE，所以A1F//平面ADE． …………………14分
10、解：（1）因PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直，
以A为原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
又因PA＝AB＝，AD＝1，
所以A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，)，………2分
因为E是棱PB的中点，所以E(，0，)，
所以＝(，1，－)，＝(0，1，－)，
所以cos＜，＞＝＝，
所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为． ……………………6分
（2）由（1）得＝(，1，－)，＝(0，1，0)，＝(，0，0)，
设平面BEC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，所以
令x1＝1，则z1＝1，所以面BEC的一个法向量为n1＝(1，0，1)，
设平面DEC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，所以
令z2＝，则y2＝1，所以面DEC的一个法向量为n2＝(0，1，)，
所以cos＜n1，n2＞＝＝．由图可知二面角B－EC－D为钝角，
所以二面角B－EC－D的余弦值为－． …………………………10分
11、【证明】（1）因为△PAD是正三角形，点E是PD的中点，
所以AE⊥PD． …… 2分
又平面PCD⊥面PAD，平面PCD∩平面PAD＝PD，AEÌ平面PAD．
所以AE⊥平面PCD． …… 5分
又PCÌ平面PCD，
所以AE⊥PC． …… 7分
（2）取PC的中点F，连结EF，
在△PCD中，E，F分别是PD，PC的中点，
P
A
B
C
D
E
（第15题图）
F
所以EF∥CD且CD＝2EF．
又AB∥CD，CD＝2AB，
所以EF∥AB且EF＝AB，
所以四边形AEFB是平行四边形，
所以AE∥BF， …… 10分
又AE平面PBC，BF平面PBC，
所以AE∥平面PBC． …… 14分
12、（1）因为分别是的中点，所以∥． ………………………3分
A
B
C
A1
B1
C1
F

E
D
因为平面，平面，
所以∥平面． …………………………6分
（2）在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以． ……8分
因为，且是的中点，
所以． ………………………………10分
因为，平面，
所以平面． ………………………12分
因为平面，
所以平面平面． …………………14分

13、证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，
所以PA⊥AC． 2分
因为AB＝1，BC＝2，∠ABC＝60º，由余弦定理，
得AC＝＝＝． 4分
因为12＋()2＝22，即AB2＋AC2＝BC2，所以AC⊥AB． 6分
又因为AC⊥PA，且PA∩AB＝A，PAÌ平面PAB，ABÌ平面PAB，
所以AC⊥平面PAB．
又ACÌ平面PAC，所以平面PAC⊥平面PAB． 8分
（2）因为BC∥AD，ADÌ平面PAD，BCË平面PAD，
所以BC∥平面PAD． 10分
又因为BCÌ平面PBC，且平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l． 14分
14、【证明】（1）在四棱锥中，M，N分别为
棱PA，PD的中点，
所以MN∥AD．……………………2分
又底面ABCD是矩形，
所以BC∥AD．
所以MN∥BC． …………………………………………………………………4分
又
所以MN∥平面PBC． …………………………………………………………6分
（2）因为底面ABCD是矩形，
所以AB⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB底面ABCD，
所以AB⊥侧面PAD．……………………………………………………………8分
又MD侧面PAD，
所以AB⊥MD． ………………………………………………………………10分
因为DA=DP，又M为AP的中点，
从而MD⊥． ………………………………………………………………12分
又，AB在平面PAB内，，
所以MD⊥平面PAB．…………………………………………………………14分
15、【证明】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
所以侧面ACC1 A1为平行四边形．
又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，
同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．………………3分
又ABÌ平面ABB1 A1，DEË平面ABB1 A1，
所以DE∥平面ABB1A1． ………………………………………………………………6分
（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．
又因为A1B1Ì平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1． ………………………………………8分
又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1Ì平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，
所以A1B1⊥平面BCC1B1． ……………………………………………………………10分
又因为BC1Ì平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．………………………………………12分
又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．
又A1B1∩B1C = B1，A1B1，B1C Ì平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C．………………………………………………………………14分
16、【证】（1）在△PBC中，因为，E是PC的中点，
所以BE⊥PC． …… 2分
又因为平面BPC⊥平面DPC，
平面BPC平面DPC，平面BPC，
A
B
C
D
P
E
F
H
所以BE⊥平面PCD． …… 5分
又因为平面DPC，
所以BE⊥CD． …… 7分
（2）取PB的中点H，连结EH，AH．
在△PBC中，又因为E是PC的中点，
所以HE∥BC，．…… 9分
又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点，
所以AF∥BC，．
所以HE∥AF，，
所以四边形AFEH是平行四边形，
所以EF∥HA． …… 12分
又因为平面PAB，平面PAB，
所以EF∥平面PAB． …… 14分
17、（1）三棱锥中，
　　　∵为的中点，为的中点，∴， …………………………3分
　　　∵平面，平面，
∴平面． ……………………………………………………………6分
（2）∵，，，
∴平面， …………………………………………………………………8分
　　 ∵平面，∴， ………………………………………………10分
　　 ∵为的中点，∴， ……………………………………12分
　　 ∵，∴平面． …………………………………………14分