江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：应用题（含解析）学案

这是一份江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：应用题（含解析）学案，共26页。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练
应用题
1、（南京市2018高三9月学情调研）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f(x)＝t1＋t2．
（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；
（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？

2、（南京市2019高三9月学情调研）销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f (x)万元．
（1）求函数f (x) 的解析式；
（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．

3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道．为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合)．
(1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值；
(2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内．则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由．


4、（江苏省常州一中、泰兴中学、南菁高中2019届高三10月月考）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM=R ，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θq.
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
（2）求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)


5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）某校在圆心角为直角，半径为的扇形区域内进行野外生存训练．如图所示，在相距的A，B两个位置分别有300，100名学生，在道路OB上设置集合地点D，要求所有学生沿最短路径到D点集合，记所有学生行进的总路程为S（km）．
（1）设，写出S关于的函数表达式；
（2）当S最小时，集合地点D离点A多远？


6、（南师附中2019届高三年级5月模拟）某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P、Q分別在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．己知AB长为40米，设∠BOP为2．（上述图形均视作在同一平面内）
（1）记四边形COPQ的周长为，求的表达式；
（2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin的值．


7、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向东北方向，∠MON＝，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，且要求市中心O到AB所在的直线距离为10 km．
（1）求A，B两出入口间距离的最小值；
（2）在公路MO段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为一点），现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？


8、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了盐城市黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，其中x为每天的时刻，若在凌晨6点时，测得空气质量指数为29.6．
（1）求实数m的值；
（2）求近期每天在[4，22]时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6＝1.8)


9、（如皋市2019届高三上学期期末）一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD，弧AC分别是以A，B为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS，使S，R分别在圆弧AC，BD上，P，Q在边AB上，设矩形PQRS的面积为y．
（1）设AP＝t，∠PAR＝θ，将y表示成t的函数或将y表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；
（2）求面积y取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cosθ的值）．


10、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，．
（1）若绿化区域的面积为1，求道路的长度；
（2）若绿化区域改造成本为10万元/，新建道路成本为10万元/．
设（），当为何值时，该计划所需总费用最小？



11、（苏州市2019届高三上学期期中）某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D（点D与点O，C不重合），其中AD，BD，CD段建设架空木栈道，已知km，设建设的架空木栈道的总长为ykm．
（1）设，将表示成的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短．


12、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米。
（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小。


13、（无锡市2019届高三上学期期中）如图，有一块圆心角为120°，半径为R的扇形钢板OAPB(P为的中点)，现要将其裁剪成一个五边形磨具CDEOF，其下部为等腰三角形OEF，上部为矩形CDEF(E，F在弦AB上，C，D在上).设∠POC＝α，五边形CDEOF的面积为S.
(1) 写出S关于α的函数表达式，并写出α的取值范围；
(2) 当S取得最大值时，求cos α的值.


14、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图所示，桌面上方有一盏电灯，到桌面的距离可以变化，桌面上有一点到点的距离为（为常数），设，灯对点的照度与成正比、与长的平方成反比，且比例系数为正常数.
（1）求灯对点的照度关于的函数关系式；
（2）问电灯与点多远时，可使得灯对点的照度最大？



15、（盐城市2019届高三上学期期中）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为．
（1）①设∠ACO＝，求出关于的函数关系式；②设AB＝2x米，求出关于x的函数关系式．
（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．


16、（南京市2019届高三第三次模拟）如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内某点B之间的距离AB为160m．摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15m的圆柱体与一个半径为15m的半球体组成．圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45m．半球体球心Q到地面的距离PQ为15m．把摩天轮看作一个半径为72m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75m．该摩天轮匀速旋转一周需要30min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长．(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)



17、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））
如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和
，上部是圆心为的劣弧，．
（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；
（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，
如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面
的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值．

18、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）
图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构
成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全
等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，
梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH = ．
（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；
（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其
高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为
何值时，总造价最低？


19、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））
南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪
风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到
处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图1．
（1）若点E恰好与点B重合，且点在BD上，如图2，求风筝面的面积；
（2）当风筝面的面积为时，求点到AB距离的最大值．



20、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．
（1）求出n关于m的函数关系式；
（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．


21、（盐城市2019届高三第三次模拟）如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草毒，其中AB= 99m, AD= 49.5m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(n∈N*)个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计)，塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外，还需在每两个大棚之间留下1m宽的室地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=1m),这部分的建设造价为每平方米31.4元
（1） 当n= 20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积; (本小题结果保留π)
（2）试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低? (本小题计算中π取3.14)



22、（镇江市2018届高三第一次模拟（期末））如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD, CD 两段，其中两固定点 A，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60° ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 4a 元/米. 设 ÐADB = a ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.

（1）求 S 关于a 的函数表达式，并求出a 的取值范围；
（2）问 AD 段多长时， S 最小？

参考答案
1、解：（1）因为t1＝， ………………………2分
t2＝＝ ， ………………………4分
所以f(x)＝t1＋t2＝＋， ………………………5分
定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}． ………………………6分
（2）f(x)＝1000(＋)＝10[x＋(100－x)]( ＋)
＝10[10＋＋ ]． ………………………10分
因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，
所以＋ ≥2＝6， …………………12分
当且仅当＝，即当x＝75时取等号． …………………13分
答：当x＝75时，f(x)取得最小值． ………………………14分
2、解：（1）由题意，P＝，Q＝bt，
故当t＝3时，P＝＝，Q＝3b＝1． …………………… 3分
解得 a＝3，b＝． …………………… 5分
所以 P＝，Q＝t．
从而 f(x)＝＋，x∈[0，3]． …………………… 7分
（2）由（1）可得：f(x)＝＋＝－(＋)．
…………………… 9分
因为x∈[0，3]，所以x＋1∈[1，4]，
故 ＋≥2，
从而 f(x)≤－2＝． …………………… 11分
当且仅当＝，即x＝2时取等号．
所以f(x)的最大值为 ．
答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元． …………………… 14分
3、解： (1) 连结OF，OF⊥CD于点F，则OF＝5．设∠FOD＝θ，
则∠FOC＝－θ (＜θ＜)，故FH＝5sinθ，FG＝5sin(－θ)，……………………2分
则FG＋FH＝5sin(－θ)＋5sinθ
＝5(cosθ＋sinθ＋sinθ)＝5(sinθ＋cosθ)＝5sin(θ＋) ……………………4分
因为＜θ＜，所以＜θ＋＜，所以当θ＋＝，即θ＝时，
(FG＋FH)max＝5． ………………………………………………6分
x
y
E
A
B
M
C
D
O
G
F
H
N
(2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系xOy．由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方．由OF＝5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2＋y2＝25，

圆E的方程为(x－15)2＋y2＝6.25，………………………………………………8分
设直线CD的方程为y＝kx＋t (－＜k＜0，t＞0)，
即kx－y＋t＝0，设点D(xD，0)
则 ……………………10分
由①得t＝5， …………………………12分
代入②得，解得k2>． ………………………13分
又由－＜k＜0，得0＜k2＜3，故＜k2＜3，即＜＜3．
在y＝kx＋t中，令y＝0，解得xD＝＝＝，所以＜xD＜10．
………………………15分
答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是5百米；
(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间(，10)(单位：百米)内的任何一点处． ………………………16分
4、


5、解（1）因为在△OAD中，，，
所以由正弦定理可知，
解得 ，且， ………………………4分
故，……7分
（2） 令，则有 ，令得
记，，列表得






0


↘
极小值
↗

可知，当且仅当时，有极小值也是最小值为，
当时，此时总路程有最小值． ……………………13分
答：当集合点D离出发点A的距离为km时，总路程最短，其最短总路程为．……………………14分
6、解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，)．
在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得
PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分)
因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，
所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝20cos θ.(4分)
所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋20cos θ，
即f(θ)＝40＋20cos θ，θ∈(0，)．(7分)
(没写定义域，扣2分)
(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则
S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，)．(10分)
所以S′(θ)＝100(－sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－sin θ＋2)，θ∈(0，)．(12分)
令S′(t)＝0，得sin θ＝.
列表：

sin θ
(0，)

(，1)
S′(θ)
＋
0
－
S(θ)
增
最大值
减
答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为.(14分)
7、

8、解：（1）由f(6)＝29.6，代入f(x)＝mlnx－x＋－6(4≤x≤22，m∈R)，
解得m＝12． …………………5分
（2）由已知函数求导，得f'(x)＝＋600＝(12－x)[＋]．
令f'(x)＝0，得x＝12． ……………………9分
列表得
x
(4，12)
12
(12，22)
f'(x)
＋
0
－
f(x)
增
极大值
减
所以函数在x＝12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时． ……………………12分
答：（1）实数m的值为12；（2）空气质量指数最高的时刻为12时． ……………14分

9、【解】选AP＝t．
（1）依题意，BQ＝t，PQ＝1－2t．
在Rt△AQR中，∠RQA＝90°，AQ＝1－t，AR＝1，
故RQ＝＝．
所以 y＝PQ·RQ＝． …… 5分
显然解得．
所以y＝，定义域为． …… 7分
（2）由（1）知，y＝，即y＝，．
令，．
则
．
令，得或（舍）或（舍）． …… 10分
列表：
t




＋
0
－

单调增
极大值
单调减
所以当时，取最大值，y取最大值．
答：面积y取最大值时，AP的长为米． …… 14分
选
（1）在Rt△AQR中，∠RQA＝90°，AR＝1，∠RAQ＝θ，
所以RQ＝sinθ，AQ＝cosθ．
故BQ＝AB－AQ＝1－cosθ，且AP＝1－cosθ．
所以PQ＝AQ－AP＝cosθ－(1－cosθ)＝2cosθ－1．
所以y＝PQ·RQ＝(2cosθ－1)sinθ． …… 5分
依题意，，解得锐角．
所以y＝(2cosθ－1)sinθ，定义域为． …… 7分
（2）由（1）知，，，
故
，
令，解得（负舍），设锐角，且．
…… 10分
列表：





＋
0
－
y
单调增
极大值
单调减
故当时，y取最大值．
答：面积y取最大值时，的值为． …… 14分
10、（1）因为在中，已知，，
所以由的面积，
解得． …………………………………………………………………………2分
在中，由余弦定理得：
，……………………………………………4分
所以．…………………………………………………5分
（2）由，则，．
在中，，，由正弦定理得，
所以，．………………………………………7分
记该计划所需费用为，
则．
………………………………………………………………………………………10分
令，则， ………………11分
由，得．所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增． ………………………………12分
所以时，该计划所需费用最小． ……………………………………14分
11、解：（1）由，，，
则，，所以， ………………4分
所以,. ………………7分
（注：表达式2分，的的取值范围1分）
(2) ， ………………9分
令,得，又，所以， ………………10分
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数.
………………12分
所以，当时， ，此时. ………………13分
答：当D位于线段AB的中垂线上且距离AB边处时,能使三段木栈道总长度最短.
………………14分
12、（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，
又∠APO＝，∠OAP＝，
由正弦定理，得：，又OA＝2，
所以，PA＝，OP＝，
所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝＝，
∠APQ＞∠AOP，所以，，∠OAQ＝∠OQA＝，
所以，；
（2）令，
，得：，
在上递减，在上递增
所以，当，即OP＝时，有唯一的极小值，即是最小值：＝2，
答：当工作坑P与O的距离为时，地下电缆管线的总长度最小。
13、解：(1) 设PO与CD交于点Q，与AB交于点M，在△OCQ中，
OQ＝Rcos α，CQ＝Rsin α.
在△BOM中，OM＝R，(2分)
S矩形CDEF＝2Rsin α(Rcos α－R)，(4分)
S△OEF＝Rsin α·R.(6分)
所以S＝2Rsin α(Rcos α－R)＋Rsin α·R
＝R2(2sin αcos α－sin α)，其中α∈(0°，60°).(8分)
(2) 因为S′＝R2(2cos2α－2sin2α－cos α)＝R2(4cos2α－cos α－2).
令S′＝0，得8cos2α－cos α－4＝0，(10分)
解得cos α＝＝.(12分)
因为α∈(0°，60°)，所以cos α0＝，(14分)
且当0°