高三理科数学一轮单元卷：第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 A卷

这是一份高三理科数学一轮单元卷：第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 A卷，共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第十六单元 空间向量在立体几何中的应用注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量，分别是直线、的方向向量，若，则（    ）A．， B．， C．， D．，2．若，，，则的形状是（    ）A．锐角三角形  B．直角三角形C．钝角三角形  D．等腰三角形3．如图，空间四边形中，，，，点在上，，点为中点，则等于（    ）A． B． C． D．4．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ）A． B． C． D．5．已知空间上的两点，，以为体对角线构造一个正方体，则该正方体的体积为（    ）A．3 B． C．9 D．6．把边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线，所成的角为（    ）A． B． C． D．7．如图所示，在正方体中，已知，分别是和的中点，则与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．8．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（    ）A． B． C．或 D．或9．在正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．10．在正四棱锥中，为顶点在底面的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是（    ）A． B． C． D．11．如图，四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，点在棱上，且，则平面与平面的夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．12．如图，已知正方体的上底面中心为，点为上的动点，为的三等分点（靠近点），为的中点，分别记二面角，，的平面角为，，，则（    ）A． B． C． D． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为______．14．已知，，点在轴上，且，则点的坐标为____________．15．如图，直三棱柱的所有棱长都是2，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则顶点的坐标是__________．16．正四棱锥的八条棱长都相等，的中点是，则异面直线，所成角的余弦为__________． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，垂直正方形所在平面，，是的中点，．（1）建立适当的空间坐标系，求出的坐标；（2）在平面内求一点，使平面．18．（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线和平面的所成角的正弦值．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形， ，平面，，是棱上的一个点，，为的中点．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．   20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值．   21．（12分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，且，．（1）求证：平面平面；（2）设，求二面角的余弦值．   22．（12分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，面，是棱的中点，且，．（1）求证：面；（2）求二面角的大小；（3）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值．  一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）第十六单元 空间向量在立体几何中的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】B【解析】由题意可得： ，解得：，．故选B．2．【答案】C【解析】因为、、，所以可知角为钝角，故的形状是钝角三角形．选C．3．【答案】B【解析】由题意；又，，，∴．故选B．4．【答案】C【解析】关于平面对称的点横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点关于平面对称的点的坐标为，选C．5．【答案】D【解析】∵，，∴，设正方体的棱长为，由题意可得，解得，∴正方体的体积为，故选D．6．【答案】D【解析】如图建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，则，，，所以，故选D．7．【答案】A【解析】建立如图所示的空间坐标系，设边长为．则，，，，，故，，所以，，，则，应选答案A．8．【答案】D【解析】因为，所以，即或．故选D．9．【答案】C【解析】分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长为1，可得，，，，∴，，，设是平面的一个法向量．∴，即取，得，∴平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，∴，∴，即直线与平面所成角的余弦值是．故选C．10．【答案】D【解析】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系．
 设，
则，，，，，，设平面PAC的法向量为，则可求得，则，，∴直线与平面所成的角为．故选D．11．【答案】B【解析】以B为坐标原点，分别以BC、BA、BP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设平面BED的一个法向量为，则，取，得，平面ABE的法向量为，∴．∴平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为．故选B．12．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系．考虑点与点A重合时的情况．设正方体的棱长为1，则，，，．设平面的一个法向量为，由，得，令，得．同理可得平面和平面的法向量分别为，．结合图形可得：，，，∴，又，，∴．故选D． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】【解析】设平面的法向量，平面的法向量，因为，所以，所以存在实数，使得，所以有，解得，故答案为．14．【答案】【解析】设，由，得，解得，故点的坐标为．15．【答案】【解析】，， ，即顶点的坐标是．16．【答案】【解析】以正方形的中心为原点，平行于的直线为轴，平行于的直线为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系，设四棱锥棱长为2，则，，，，，所以，，∴．故异面直线，所成角的余弦值为． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）；（2）点的坐标是，即点是的中点．【解析】（1）分别以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间坐标系，如图，则，，，设，，则，∴， ∴，解得．∴点坐标是；（2）∵平面，∴可设，，又平面，∴，解得；又∵∴，∴点的坐标是，即点是的中点．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系．则有、、、∴，，∴，所以异面直线BE与AC所成角的余弦为．（2）设平面ABC的法向量为，则知，知取，则，故BE和平面ABC的所成角的正弦值为．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：连接，设，取的中点，连接，，，在中，因为，分别为，的中点，所以，又平面，所以平面，同理，在中，，平面，因为平面，所以平面．（2）以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在等边三角形中，因为，所以，，因此，，，，，且，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，直线与平面所成的角为，则．20．【答案】（1）；（2）．【解析】∵，，∴底面，又底面为矩形，∴分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．∴，，，．（1）设平面的一个法向量，则，令，得，∴与平面所成角的正弦值．（2）设平面的一个法向量，则令，得 ，∴，∴二面角的余弦值为．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：如图，取，的中点，，连接，，，，则四边形为正方形，∴，∴．又，∴，又∴平面，又平面，∴．∵，∴．又，∴平面．又平面，∴平面平面．（2）解：由（1）知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，∴．令，则，，，，∴，，．设平面的一个法向量为，由，得，取，得．又设平面的法向量为，由得，取，得，∴，由图形得二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】证明：（1）连结．因为在中，，，所以，所以．因为，所以．又因为地面，所以．因为，所以平面．（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，．因为是棱的中点，所以．所以，． 设为平面的法向量，所以，即，令，则，所以平面的法向量．因为平面，所以是平面的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．（3）因为是棱上一点，所以设，．设直线与平面所成角为，因为平面的法向量，所以．解得，即，，所以．