高三理科数学一轮单元卷：第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 B卷

这是一份高三理科数学一轮单元卷：第十六单元 空间向量在立体几何中的应用 B卷，共19页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）第十六单元 空间向量在立体几何中的应用注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，，，则平面的一个法向量可以是（    ）A． B． C． D．2．已知正三棱柱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A．0 B． C． D．3．如图所示，在平行六面体 中，为与的交点．若，， ，则下列向量中与相等的向量是（    ）A．  B．C．  D．4．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，，，侧面为等边三角形且垂直于底面，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．5．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中白点○代表钠原子，黑点●代表氯原子．建立空间直角坐标系后，图中最上层中心的钠原子所在位置的坐标是（    ）A． B． C． D．6．如图，在四面体中，、分别在棱、上，且满足，，点是线段的中点，用向量，，表示向量应为（    ）A． B．C． D．7．如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则（    ）A． B． C． D．8．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．9．已知四边形，，，现将沿折起，使二面角的大小在内，则直线与所成角的余弦值取值范围是（    ）A． B． C． D．10．如图，平面平面，，，与平面，所成的角分别为和，过，两点分别作两平面交线的垂线，垂足为，，若，则的长为（    ）A．4 B．6 C．8 D．9 11．正四棱锥的侧棱长为，底面边长为，为的中点，则异面直线与所成的角是（    ）A． B． C． D．12．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面边长为的正三角形，侧棱长为，则与平面所成的角为（    ）A． B． C． D． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．已知，，，若向量，，共面，则实数     ．14．，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角为，那么直线与平面所成角的余弦值是_____．15．已知正方形的边长为，平面，，、分别是，的中点，则点到平面的距离为________．16．如图所示，在正三棱柱中，是的中点，，则异面直线与所成的角为________．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．（1）求证：；（2）若平面平面，，求二面角的余弦值．18．（12分）如图，已知斜三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，且，是的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．  19．（12分）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．（1）证明：平面平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值． 20．（12分）如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，．是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．21．（12分）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点在上，且．（1）证明：平面；（2）求二面角的大小；（3）棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．22．（12分）如图1，在中，，，，，分别是，上的点，且，．将沿折起到的位置，使，如图2．（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直?说明理由．  一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）第十六单元 空间向量在立体几何中的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】∵，，，∴，，设平面ABC的一个单位法向量为，则，∴易知：符合题意．故选D．2．【答案】C【解析】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱的各条棱长为2，则，，，，，，设异面直线和所成的角的余弦值为，则．∴异面直线和所成的角的余弦值大小为．故选C．3．【答案】A【解析】平行六面体的性质可得：，则，故选A．4．【答案】B【解析】如图，取的中点，连，，由题意可得平面．在中，，，，则由余弦定理得，所以，因此可建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，∴，，∴．∴异面直线与所成角的余弦值为．故选B．5．【答案】A【解析】设图中最上层中间的钠原子所在位置为点，以、为相对顶点，作出长方体，如图所示：∵平面经过点与轴垂直，
∴点在轴上的射影为点，结合得的横坐标为；同理可得，点在轴上的射影为点，结合得的纵坐标为；点在轴上的射影为点，结合得的竖坐标为1，∴点的坐标为，故选A．6．【答案】A【解析】，化简得到，故选A．7．【答案】C【解析】由题意可知，平面的一个法向量为：，由空间向量的结论可得：．本题选择C选项．8．【答案】D【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，可得点，，设点的坐标为，则，，，∴，，∴，由二次函数的性质可得，当时，取得最大值为，当或时，且当或时，取得最大值为，由此的取值范围是，故选D．9．【答案】A【解析】∵．，∴，，且，，∴是二面角的平面角，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，，，，设二面角的平面角为，则，连、，则，，∴，，设、的夹角为，则，∵，∴，故，∴．本题选择A选项．10．【答案】B【解析】连接和，设，与平面成的角，在中，，与平面所成的角，在中，，因此在中，，故选B．11．【答案】C【解析】取的中点，连接、，则，异面直线与所成的角为，因为，，，又在中，由余弦定理可得，则在中，可得，在中，由余弦定理得，所以，故选C．12．【答案】A【解析】记点到平面的距离为，与平面所成的角为，连接，∵，即，∴，则，所以，故选A． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】1【解析】∵，，共面，∴存在实数，，使，即，∴，解得．14．【答案】【解析】过点向平面作垂线，垂足为，连接，易知为的角平分线，过点向作垂线，垂足为，连接，易知，设，在中，，，在中，，，在中，．15．【答案】【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，由题意得平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为．16．【答案】【解析】在平面内，过作的平行线，过作于，连接，则在中，为与所成的角，设，则，∴，，∴，∴． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，连接，，∵为等边三角形，∴，∵，，∴且．又∵，∴四边形为矩形，∴，∵，∴平面又∵平面，∴，（2）由（1）知，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，以为坐标原点，以，，所在方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，∵，∴，又，得，∴，，，∴，，设平面法向量，由，得，取，得，又知是平面的一个法向量，设，∴，∴二面角的余弦值为．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明∵侧面是菱形，且，∴为正三角形，∵点为的中点，∴．∵，∴，由已知，∴平面．（2）如图建立空间直角坐标系，设菱形边长为，得，，，．则，，，．设平面的法向量，由，得，令得．设面的法向量，由，得，令，得．所以．又二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．19．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：连结，和交于点，连结，，∵平面，∴，，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，且，∵，∴，∵，∴．∴．∴，∴，∴，∴，∴．又∵，∴平面，∴平面平面．（2）分别以，所在射线为轴，轴，以过点平行于的直线为轴，建立建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，，，∴，，∴．所以直线与直线所成角的余弦值为．20．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴，∵，，∴，∴，∴．又，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）如图，以为原点，、、分别为轴、轴、轴正向，建立空间直角坐标系，则，，．设，则，，，．设平面的法向量为，则由得，令，则，，所以平面的法向量为．设平面的法向量为，则由，得令，则，．所以平面的法向量为．依题意，，解得．于是，，设直线与平面所成角为．则．即直线与平面所成角的正弦值为．21．【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点为中点时，有平面．【解析】（1）证明：∵四边形是菱形，，且∴，又，∴，，∴，且．∴平面．（2）连接，∵底面是菱形，∴，设．以为原点，，分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：，，，，．∵点在上，且．∴，即．∴，即点的坐标为．又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，由，得，可令，得，∴，∴，所以二面角的大小为．（3）证明：假设在上存在点满足题设条件，设，得，∴，依题意，平面，则有，∴，即，解得，∴当点为中点时，有平面．22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，见解析．【解析】（1）证明：因为，，所以．所以，，所以平面．所以．又因为，．所以平面．（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为，则，．又，，所以令，则，．所以．设与平面所成的角为，因为，所以．所以与平面所成角的大小为．（3）线段上不存在点，使平面与平面垂直，理由如下：假设这样的点存在，设其坐标为，其中．设平面的法向量为，则，．又，，所以令，则，．所以．平面与平面垂直当且仅当，即．解得，这与矛盾．所以线段上不存在点，使平面与平面垂直．