高三理科数学一轮单元卷：第二十八单元 综合测试 A卷

这是一份高三理科数学一轮单元卷：第二十八单元 综合测试 A卷，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，在中，，，，则，若在是减函数，则的最大值是等内容，欢迎下载使用。
一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）第二十八单元 综合测试注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（    ）A． B． C． D．2．已知集合，则中元素的个数为（    ）A．9 B．8 C．5 D．43．函数的图象大致为（    ）   4．已知向量，满足，，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．05．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）A． B． C． D．6．在中，，，，则（    ）A． B． C． D．7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（    ）A． B． C． D．8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（    ）A． B． C． D．9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．10．若在是减函数，则的最大值是（    ）A． B． C． D．11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（    ）A． B．0 C．2 D．5012．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（    ）A． B． C． D． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．曲线在点处的切线方程为__________．14．若满足约束条件则的最大值为__________．15．已知，，则__________．16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．   18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．   19．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．   20．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 21．（12分）已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．   请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．    23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．    一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（A）第二十八单元 综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】，故选D．2．【答案】A【解析】，，，，，，当时，，，；当时，，，；当时，，，；所以共有9个，故选A．3．【答案】B【解析】，，为奇函数，舍去A，，舍去D；，，，所以舍去C；故选B．4．【答案】B【解析】，故选B．5．【答案】A【解析】，，，因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A．6．【答案】A【解析】，，，故选A．7．【答案】B【解析】由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．因此在空白框中应填入，选B．8．【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，故选C．9．【答案】C【解析】以D为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】A【解析】因为，所以由得，因此，，，，从而的最大值为，故选A．11．【答案】C【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以，，，因此，，，，从而，故选C．12．【答案】D【解析】因为为等腰三角形，，所以，由斜率为得，，，，由正弦定理得，，，，故选D．二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）13．【答案】【解析】，，．14．【答案】9【解析】作可行域，则直线过点时取最大值9．15．【答案】【解析】，，，，，因此．16．【答案】【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为，所以，，因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为． 三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）；（2），最小值为．【解析】（1）设的公差为，由题意得，由得．所以的通项公式为．（2）由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．18．【答案】（1）利用模型①预测值为，利用模型②预测值为；（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．（2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下：（1）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（2）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．19．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由题意得，的方程为，设，，由，得，，故，所以，由题设知，解得（舍去），．因此的方程为．（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即，设所求圆的圆心坐标为，则，解得或，因此所求圆的方程为或．20．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，为的中点，所以，且，连结．因为，所以为等腰直角三角形，且，，由知，由知平面．（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．由已知得，，，，，，取平面的法向量，设，则，设平面的法向量为．由，，得，可取，，由已知得，，解得（舍去），，，又，所以．所以与平面所成角的正弦值为．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）当时，等价于，设函数，则，当时，，所以在单调递减，而，故当时，，即．（2）设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．当时，，没有零点；当时，．当时，；当时，．在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．22．【答案】（1）当时，的直角坐标方程；当时，的直角坐标方程为；（2）．【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程．①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．又由①得，故，于是直线的斜率．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，可得的解集为．（2）等价于，而，且当时等号成立，故等价于，由可得或，所以的取值范围是．