初中数学北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程课时训练

这是一份初中数学北师大版九年级上册4 用因式分解法求解一元二次方程课时训练，共11页。试卷主要包含了已知实数a、b满足，已知x、y都是实数，且等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《2.4用因式分解法求解一元二次方程》同步练习题
1．若一元二次方程式x2﹣8x﹣3×11＝0的两根为a、b，且a＞b，则a﹣2b之值为何？（　　）
A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17
2．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
3．若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则矩形的对角线长度为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．10
4．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5 B．x1＝1，x2＝﹣3.5
C．x1＝1，x2＝3.5 D．x1＝﹣1，x2＝3.5
5．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（　　）
A．8 B．8或10 C．10 D．8和10
6．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）＝8，则a2﹣b2的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
7．已知x、y都是实数，且（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3＝0，那么x2+y2的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
8．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　）
A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）
9．三角形两边长分别为4和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为（　　）
A．14 B．18 C．19 D．14或19
10．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　）
A．3 B．4 C．6 D．2.5
11．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（　　）
A．（2x﹣2）（3x﹣4）＝0，∴2﹣2x＝0或3x﹣4＝0
B．（x+3）（x﹣1）＝1，∴x+3＝0或x﹣1＝1
C．（x﹣2）（x﹣3）＝2×3，∴x﹣2＝2或x﹣3＝3
D．x（x+2）＝0，∴x+2＝0
12．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[﹣1.4]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3．函数y＝[x]的图象如图所示，已知﹣2≤x＜2，则方程[x]＝x2的解为（　　）

A．0或 B．0或1 C．1或 D．或﹣
13．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的根，则三角形的周长为　 　．
14．若关于x的方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，则a的值为　 　．
15．三角形两边的长分别是8cm和15cm，第三边的长是方程x2﹣24x+119＝0的一个实数根，则三角形的面积是　 　．
16．方程x2﹣4＝|2x+1|的解是　 　．
17．方程（2021x）2﹣2020×2022x﹣1＝0的较大根为a，方程x2+2020x﹣2021＝0的较小根为b，则a﹣b＝　 　．
18．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8＝0，则x2+y2﹣5＝　 　．
19．方程的解为　 　．
20．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线记成，定义＝ad﹣bc，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝　 　．
21．解一元二次方程：
（1）（2x﹣5）2＝9 （2）x2﹣4x＝96
（3）3x2+5x﹣2＝0 （4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）
22．用因式分解法解下列方程：
（1）3x2+2x＝0
（2）x2＝3x
（3）x（3x+2）＝6（3x+2）
（4）（3x﹣1）2＝（2﹣x）2
（5）3x2+12x＝﹣12
（6）x2﹣4x+3＝0．
23．观察下面方程的解法
x4﹣13x2+36＝0
解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0
∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0
∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0
∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3
你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？
24．已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．
25．已知关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54＝0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．
26．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
（1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+　 　）（x+　 　）；
（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣3x﹣4＝0．
27．解关于x的方程：x2﹣（p2+q2）x+pq（p+q）（p﹣q）＝0．
28．已知方程（2020x）2﹣2021×2019x﹣1＝0的较大根为α，方程x2+2020x﹣2021＝0的较小根为β，求α﹣β的值．

参考答案
1．解：（x﹣11）（x+3）＝0，
x﹣11＝0或x+3＝0，
所以x1＝11，x2＝﹣3，
即a＝11，b＝﹣3，
所以a﹣2b＝11﹣2×（﹣3）＝11+6＝17．
故选：D．
2．解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝0，x﹣5＝0，
x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
3．解：设矩形的长和宽分别为a、b，
则a+b＝7，ab＝12，
所以矩形的对角线长＝＝＝＝5，
故选：A．
4．解：把方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣4，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3.5．
故选：A．
5．解：解方程x2﹣6x+8＝0得第三边的边长为2或4．
边长为2，4，2不能构成三角形；
而2，4，4能构成三角形，∴三角形的周长为2+4+4＝10，故选C．
6．解：设y＝a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8＝0，即（y﹣4）（y+2）＝0，
可得y﹣4＝0或y+2＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣2，
∴a2﹣b2＝4或﹣2．
故选：C．
7．解：（x2+y2）（x2+y2+2）﹣3＝0，
（x2+y2）2+2（x2+y2）﹣3＝0，
（x2+y2+3）（x2+y2﹣1）＝0，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2+3＞0，
∴x2+y2﹣1＝0，
x2+y2＝1，
故选：B．
8．解：由题意可知：x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，
∴x2+mx+n＝（x﹣5）（x+6）
故选：B．
9．解：（x﹣4）（x﹣9）＝0，
x﹣4＝0或x﹣9＝0，
所以x1＝4，x2＝9，
即三角形的第三边长为4或9，
所以三角形的周长为4+6+4＝14或4+6+9＝19．
故选：D．
10．解：x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
x﹣3＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝3，x2＝4，
则直角三角形两直角边分别为3、4，
所以斜边＝＝5，
所以该直角三角形斜边上的中线长＝．
故选：D．
11．解：用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的．因此第二、第三个不对，
第四个漏了一个一次方程，应该是x＝0，x+2＝0．
所以第一个正确．
故选：A．
12．解：当1≤x＜2时，x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去）；
当0≤x＜1时，x2＝0，解得x＝0；
当﹣1≤x＜0时，x2＝﹣1，方程没有实数解；
当﹣2≤x＜﹣1时，x2＝﹣2，方程没有实数解；
所以方程[x]＝x2的解为0或．
故选：A．
13．解：解方程x2﹣10x+21＝0得x1＝3、x2＝7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7＝16．
故答案为：16．
14．解：由x2+2x﹣3＝0得
x1＝﹣3，x2＝1，
∵＝中x≠﹣3，
∴方程x2+2x﹣3＝0与＝有一个解相同，这个解是x＝1，
∴，得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．解：解方程x2﹣24x+119＝0可得x＝7或x＝17，
当x＝7时，该三角形的三边长为8、7、15，不能构成三角形，舍去，
∴三角形的第三边为17cm，
∵82+152＝64+225＝289＝172，
∴该三角形为直角三角形，
∴S＝×8×15＝60（cm2），
故答案为：60cm2．
16．解：分两种情况：
①x＞﹣时，原方程可变形为：x2﹣2x﹣5＝0，
∴x1＝1+，x2＝1﹣（舍去）；
②x≤﹣时，原方程变形为：x2+2x﹣3＝0，即（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1（舍去）．
因此本题的解为x＝1+或x＝﹣3．
故答案为x＝1+或x＝﹣3．
17．解：（2021x）2﹣2020×2022x﹣1＝0，
原方程可化为，
20212x2+（﹣20212+1）x﹣1＝0，
（x﹣1）（20212x+1）＝0，
∴a＝1
∵所求方程x2+2020x﹣2021＝0，
则原方程可化为，
（x﹣1）（x+2021）＝0，
∴b＝﹣2021
则a﹣b＝1﹣（﹣2021）＝2022．
18．解：设x2+y2+3＝t
∵（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8＝0，
∴t2﹣6t+8＝0
∴t＝2或t＝4
当t＝2时，
x2+y2+3＝2
∴x2+y2＝﹣1
故t＝2舍去
当t＝4时，
x2+y2+3＝4
∴x2+y2＝1
∴原式＝1﹣5＝﹣4
故答案为：﹣4
19．解：方程两边同乘以2，则原方程变为：
，
由于
∴，
即
∴
故答案是：﹣（+1），3（+1）．
20．解：根据题中的新定义得：＝（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）（1﹣x）＝x2﹣1+x2﹣2x+1＝4，
即x2﹣x﹣2＝0，
分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣1或2．
故答案为：﹣1或2
21．解：（1）（2x﹣5）2＝9
2x﹣5＝±3
2x＝±3+5
x1＝4，x2＝1；
（2）x2﹣4x＝96
x2﹣4x﹣96＝0
（x+8）（x﹣12）＝0
x+8＝0或x﹣12＝0
x1＝﹣8，x2＝12；
（3）3x2+5x﹣2＝0
（x+2）（3x﹣1）＝0
x+2＝0或3x﹣1＝0
x1＝﹣2，x2＝；
（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）
2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0
（x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0
x﹣3＝0，x﹣6＝0
x1＝3，x2＝6．
22．（1）3x2+2x＝0
解：x（3x+2）＝0
x＝0，3x+2＝0
x1＝0，x2＝﹣；
（2）x2＝3x
解：x2﹣3x＝0
x（x﹣3）＝0
x＝0，x﹣3＝0
x1＝0，x2＝3；
（3）x（3x+2）＝6（3x+2）
解：x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0
（x﹣6）（3x+2）＝0
x﹣6＝0，3x+2＝0
x1＝6，x2＝﹣；
（4）（3x﹣1）2＝（2﹣x）2
解：（3x﹣1）2﹣（2﹣x）2＝0
[（3x﹣1）+（2﹣x）][（3x﹣1）﹣（2﹣x）]＝0
（2x+1）（4x﹣3）＝0
2x+1＝0，4x﹣3＝0
x1＝﹣，x2＝；

（5）3x2+12x＝﹣12
解：3x2+12x+12＝0
3（x+2）2＝0
x+2＝0
x1＝x2＝﹣2；
（6）x2﹣4x+3＝0
解：（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0，x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
23．解：原方程可化为
|x|2﹣3|x|+2＝0
∴（|x|﹣1）（|x|﹣2）＝0
∴|x|＝1或|x|＝2
∴x＝1，x＝﹣1，x＝2，x＝﹣2
24．解：（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC＝5，
∴AB2+AC2＝25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，
∴AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，
∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC，
即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，
解得k＝2或﹣5（不合题意舍去）；
（2）∵△ABC是等腰三角形；
∴当AB＝AC时，Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0
解得k不存在；
当AB＝BC时，即AB＝5，
∴5+AC＝2k+3，5AC＝k2+3k+2，
解得k＝3或4，
∴AC＝4或6
∴△ABC的周长为14或16．
25．解：原方程可化为：[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]＝0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x1＝①，x2＝②．
由①得k＝，由②得k＝，
∴＝，
整理得x1x2﹣2x1+3x2＝0，
有（x1+3）（x2﹣2）＝﹣6．
∵x1、x2均为整数，
∴．
故x1＝﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，3．
又k＝＝6﹣，
将x1＝﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，3分别代入，得
k＝7，，，，，15，3．
26．解：（1）x2+6x+8＝x2+（2+4）x+2×4＝（x+2）（x+4），
故答案为：2，4；
（2）∵x2﹣3x﹣4＝0，
x2+（﹣4+1）x+（﹣4）×1＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
则x+1＝0或x﹣4＝0，
解得：x＝﹣1或x＝4．
27．解：用十字相乘法分解因式得
[x﹣p（p﹣q）][x﹣q（p+q）]＝0，
所以x1＝p（p﹣q），x2＝q（p+q）．
28．解：由方程（2020x）2﹣2021×2019x﹣1＝0得：
（2020x）2﹣（2020+1）（2020﹣1）x﹣1＝0
（2020x）2﹣20202x+x﹣1＝0
20202x（x﹣1）+（x﹣1）＝0
（20202x+1）（x﹣1）＝0，
∴α＝1．
由x2+2020x﹣2021＝0
（x+2021）（x﹣1）＝0，
故x1＝﹣2021，x2＝1，
所以β＝﹣2021．
所以α﹣β＝1﹣（﹣2021）＝2020