初中数学苏科版九年级上册2.5 直线与圆的位置关系课堂检测

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2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.5直线与圆的位置关系常考热点优生辅导训练
1．如图，△ABC中，∠A＝80°，点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为（　　）

A．100° B．160° C．80° D．130°
2．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
3．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点，过点C作⊙O的切线，交直径AB的延长线于点D；若∠A＝23°，则∠D的度数是（　　）

A．23° B．44° C．46° D．57°
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（　　）

A． B．2 C．3 D．
5．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，延长AC到D，使CD＝BC，点P是△ABD的内心，则∠BPC＝（　　）

A．105° B．110° C．130° D．145°
6．如图平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D（　　）

A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3）
7．如图，已知AD是∠BAC的平分线，以线段AB为直径作圆，交∠BAC和角平分线于C，D两点．过D向AC作垂线DE垂足为点E．若DE＝2CE＝4，则直径AB＝　 　．

8．如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C，若BC＝4，则⊙O的半径为　 　．

9．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝　 　cm．

10．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝15°，则∠P的度数为　 　．

11．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为　 　．

12．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为　 　．

13．已知△ABC的三边a、b、c满足b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，则△ABC的内切圆半径＝　 　．
14．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为　 　．

15．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PC（点C为切点），则线段PC长的最小值为　 　．


16．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，且OB＝4，∠ABO＝30°，一个半径为1的⊙C，圆心C从点（0，1）开始沿y轴向下运动，当⊙C与直线l相切时，⊙C运动的距离是　 　

17．如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为　 　．

18．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，∠DAB＝∠ACB．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若∠ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．




19．已知，AB是⊙O的直径，EF与⊙O相切于点D，EF∥AB，点C在⊙O上，且C，D两点位于AB异侧，AC＜BC，连接CD．
（1）如图1，求证：CD平分∠ACB；
（2）如图2，若AC＝6，CD＝，作AM⊥CD于点M，连接OM，求线段OM的长．

20．如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，⊙O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．

21．如图，AB是⊙O的直径，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得∠DAC＝∠AED．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA＝CF；
②若⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．





22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BE交AC于点E，过点E作直线
BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
（3）求证：CD＝HF．

23．已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．


参考答案
1．解：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝100°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
2．解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
∵点O到直线l的距离为2，
∴d＝r
∴l与⊙O的位置关系相切．
故选：B．
3．解：连接OC，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠COD＝2∠A＝46°，
∴∠D＝90°﹣46°＝44°．
故选：B．

4．解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴OA＝OB＝3，
∴AB＝＝6，
∴OP＝AB＝3，
∴PQ＝＝2．
故选：B．

5．解：如图，连接AP并延长交BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵CD＝CB，
∴∠D＝∠CBD，
而∠ACB＝∠D+∠CBD，
∴∠CBD＝∠ACB＝35°，
∴∠ABD＝35°+70°＝105°，
∵点P是△ABD的内心，
∴AP平分∠BAC，BP平分∠ABD，
∴AE垂直平分BC，∠PBD＝∠ABD＝52.5°，
∴∠PBC＝52.5°﹣35°＝17.5°，
∵PE垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝17.5°，
∴∠BPC＝180°﹣17.5°﹣17.5°＝145°．
故选：D．

6．解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，
则PE⊥y轴，PF⊥x轴，
∵∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE＝PF，PE∥OF，
∴四边形PEOF为正方形，
∴OE＝PF＝PE＝OF＝5，
∵A（0，8），
∴OA＝8，
∴AE＝8﹣5＝3，
∵四边形OACB为矩形，
∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB，
∴EG∥AC，
∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，
∴CG＝AE＝3，EG＝OB，
∵PE⊥AO，AO∥CB，
∴PG⊥CD，
∴CD＝2CG＝6，
∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵PD＝5，DG＝CG＝3，
∴PG＝4，
∴OB＝EG＝5+4＝9，
∴D（9，2）．
故选：A．

7．解：连接CD，BD，OD，过点D作DP⊥AB于点P，

∵DE⊥AC，DE＝2CE＝4，
∴CE＝2，
∴CD＝＝2，
∵AD是∠BAC的平分线，DP⊥AB，DE⊥AC，
∴∠BAD＝∠DAC，DP＝DE＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴PB＝＝2，
在Rt△ODP中，设OD＝r，则OP＝r﹣2，
∴r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，
∴AB＝2r＝10．
故答案为：10．
8．解：连接CO，
∵OA为半径的圆与BC相切于点C，
∴∠BCO＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∵OA＝CO，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠B＝∠A＝∠OCA，
∵∠B+∠A+∠OCA＝90°，
∴∠B＝∠A＝∠OCA＝30°，
∴BO＝2CO，
设CO＝x，则BO＝2x，
故x2+（4）2＝（2x）2，
解得：x＝4，
则⊙O的半径为：4．
故答案为：4．

9．解：如图，设DC与⊙O的切点为E；

∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA＝PB；
同理，可得：DE＝DA，CE＝CB；
则△PCD的周长＝PD+DE+CE+PC＝PD+DA+PC+CB＝PA+PB＝10（cm）；
∴PA＝PB＝5cm，
故答案为：5．
10．解：∵PA为切线，
∴OA⊥PA，
∴∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣15°＝75°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∴∠PBA＝∠PAB＝75°，
∴∠P＝180°﹣75°﹣75°＝30°．
故答案为30°．
11．解：连接OD，BD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠ABC＝60°，AC＝BC，
∵DF是圆的切线，
∴OD⊥DF，
∵△ODC为等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∴∠A＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∴DF⊥AB，
在Rt△ADF中，AF＝2，∠A＝60°，
∴AD＝4，DF＝AF＝2，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC，
∴AD＝CD＝4，
∴OD＝4，
∴OM＝OD＝2，
在Rt△DFH中，∠DFH＝60°，DF＝2，
∴FH＝，DH＝FH＝3，
∴GM＝3，
∴OG＝GM﹣OM＝1，
∴BG＝OB﹣OG＝3，
在Rt△BGF中，∠FBG＝60°，BG＝3，
∴FG＝BG＝3．
故答案为3．

12．解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2＝CD2+CM2，
∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，
∴NM＝，
∴DM＝3+＝．
故答案为．

13．解：∵b+|c﹣3|+a2﹣8a＝4﹣19，
∴|c﹣3|+（a﹣4）2+（）2＝0，
∴c＝3，a＝4，b＝5，
∵32+42＝25＝52，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
设内切圆的半径为r，
根据题意，得S△ABC＝×3×4＝×3×r+×4×r+×r×5，
∴r＝1，
故答案为：1．
14．解：∵直线a⊥b，O为直线b上一动点，
∴⊙O与直线a相切时，切点为H，
∴OH＝1cm，
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图1所示：

OP＝PH﹣OH＝4﹣1＝3（cm）；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图2所示：

OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；
∴⊙O与直线a相切，OP的长为3cm或5cm，
故答案为：3cm或5cm．
15．解：连接OP、OC，如图所示，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
根据勾股定理知：PC2＝OP2﹣OC2，
∴当PO⊥AB时，线段PC最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OP，即OP＝＝，
∵OC＝2，
∴PC＝＝＝，
故答案为：．

16．解：设第一次相切的切点为E，第二次相切的切点为F，连接EC′，FC″，

在Rt△BEC′中，∠ABC＝30°，EC′＝1，
∴BC′＝2EC′＝2，
∵BC＝5，
∴CC′＝3，同法可得CC″＝7，
故答案为3或7．
17．解：连接OC并延长，交⊙C上一点P，以O为圆心，以OP为半径作⊙O，交x轴于A、B，此时AB的长度最大，
∵C（3，4），
∴OC＝＝5，
∵以点C为圆心的圆与y轴相切．
∴⊙C的半径为3，
∴OP＝OA＝OB＝8，
∵AB是直径，
∴∠APB＝90°，
∴AB长度的最大值为16，
故答案为16．

18．（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
又∵∠ACB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠CAB＝90°，即∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知∠OAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴OA＝OD＝（OB+BD），
∵OA＝OB，BD＝2，
∴OA＝2，
∴AC＝2OA＝4．
19．（1）证明：连接OD，

∵EF与⊙O相切于点D，
∴∠EDO＝90°，
又∵EF∥AB，
∴∠BOD＝∠AOD＝∠EDO＝90°，
又∵∠ACD＝∠AOD，∠DCB＝∠DOB，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴CD平分∠ACB；
（2）解：连接AD，作ON⊥CD于N，

∵AM⊥CD，
∴∠AMD＝∠DOA＝90°，
取AD的中点H，连接OH，MH，
则AH＝DH＝OH＝MH＝AD，
∴A，D，O，M四点都在⊙H上，
∴∠OMD＝∠OAD＝45°，
又∵ON⊥CD，
∴△MNO是等腰直角三角形，
又∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵CD平分∠ACB，AM⊥CD，
∴△AMC是等腰直角三角形，
又∵AC＝6，
∴AM＝CM＝3，
∴DM＝CD﹣CM＝7﹣3＝4，
∴在Rt△AMD中可得AD＝5，
∴在等腰Rt△AOD中可得DO＝5，
设MN＝ON＝x，则DN＝4﹣x，
在Rt△OMD中ON2+DN2＝DO2，
∴x2+（4﹣x）2＝52 ，
∴ x＝或 x＝，
又∵x＜5，
∴ x＝，
∴OM＝x＝1．
20．（1）证明：连接OD，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中
，
∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的切线，
∴∠BDO＝90°，
∴BD2+OD2＝OB2，
∴42+32＝（3+BE）2，
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD，AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+x）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴AC＝6．

21．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA+∠DAB＝90°，
∵∠DEA＝∠DBA，∠DAC＝∠DEA，
∴∠DBA＝∠DAC，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，∠CAB＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①证明：∵点E是的中点，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵∠CFA＝∠DBA+∠BAE，∠CAF＝∠DAC+∠DAE，∠DBA＝∠DAC，
∴∠CFA＝∠CAF，
∴CA＝CF；
②解：设CA＝CF＝x，
则BC＝CF+BF＝x+2，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
在Rt△ABC中，CA2+AB2＝BC2，
即：x2+62＝（x+2）2，
解得：x＝8，
∴AC＝8．
22．（1）证明：如图，连接OE．
∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径，
∴OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）证明：∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA，
∴BEC＝∠BEH，
∵BF是⊙O是直径，
∴∠BEF＝90°，
∴∠FEH+∠BEH＝90°，∠AEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEH＝∠FEA，
∴FE平分∠AEH．
（3）证明：如图，连接DE．
∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE，
∵∠C＝∠EHF＝90°，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF，

23．证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD；
∵AD＝BD，OB＝OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．