2021学年第二十二章 二次函数综合与测试单元测试练习

这是一份2021学年第二十二章 二次函数综合与测试单元测试练习，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年九年级数学上册同步（人教版）
第22章 二次函数-单元测试卷
时间：90分钟，满分：120分

一、单选题(共30分)
1．(本题3分)如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B且OA＝OB，则c的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
2．(本题3分)抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
3．(本题3分)已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（　　）

A．b＝﹣3，c＝3 B．b＝3，c＝﹣3 C．b＝3，c＝3 D．b＝﹣3，c＝﹣3
4．(本题3分)抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
5．(本题3分)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线，那么此抛物线是（ ）．
A． B．
C． D．
6．(本题3分)如图，抛物线的对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④．其中错误结论的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．(本题3分)已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）

A． B．
C．周长的最小值是 D．是的一个根
8．(本题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，若a＞0，则下列结论错误的是（ ）
A．当x＞2时，y随着x的增大而增大
B．（a＋c）2＝b2
C．若A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c
D．若方程a（x＋1）（5﹣x）＝﹣1的两根为x1、x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜5＜x2
9．(本题3分)用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
10．(本题3分)如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④一元二次方程的两根分别为，；⑤若为方程的两个根，则且，其中正确的结论有（ ）个．

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题(共24分)
11．(本题3分)将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得到的拋物线为________________．
12．(本题3分)要确定一次函数，需求出k、b的值，用___________法，由两点（两点连线不与坐标轴平行）的坐标，列出关于k、b的二元一次方程组求出k、b的值．
13．(本题3分)如图，若点B的坐标为（，0），则点 A 的坐标为_____．

14．(本题3分)如图，二次函数的图象经过点，．有下列结论：①图象的对称轴为直线：；②；③若，则；④一元二次方程的两个根分别为-1和，其中正确的结论有_______（填序号）．

15．(本题3分)抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为____________．
16．(本题3分)正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM＝_______cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为__________cm2．
17．(本题3分)二次函数（m，n是常数）的图象与x轴的两个交点及顶点构成直角三角形，若将这条抛物线向上平移k个单位后（），图象与x轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，则k的值为________．
18．(本题3分)某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．

三、解答题(共66分)
19．(本题6分)如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．
　　




20．(本题6分)一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…

0

4

4
m
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）m的值是　 ．



21．(本题6分)（1）解方程：
（2）已知二次函数的图象的顶点是，且经过点，请求出该二次函数的表达式．




22．(本题6分)己知某二次函数的图象经过点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数的顶点坐标和最值．




23．(本题8分)如图，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，点在轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上存在一点，使得的面积是面积的两倍，求点的坐标以及的面积．




24．(本题8分)新冠肺炎疫情期间，某药店进了一批口罩，每包进价10元，每包销售价定为25元时，每天销售1000包．经一段时间调查，发现每包销售单价每上涨1元，每天就少卖40包．其销售单价不低于进价，销售利润率不高于180% ．设每包销售价为x元（x为正整数）．
（1）请直接写出的取值范围．
（2）设每天的总利润为元，当每包销售价定为多少元时，该药店每天的利润最大？最大利润是多少元？





25．(本题8分)已知抛物线的图象与x轴交于点A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的表达式：
（2）将抛物线沿x轴平移得到抛物线，抛物线与x轴分别交于点D、E（点D在E的左侧），若是以为腰的等腰三角形，求抛物线的表达式．





26．(本题8分)如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣1，0)，B(3，0)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到一条新的抛物线，设新抛物线的顶点为C，点D(0，m)在y轴上，以CD为对角线的正方形CEDF的顶点E、F恰好都在新抛物线上，试求m的值．




27．(本题10分)如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为，抛物线与直线交于C，D两点，连接．

（1）求a的值；
（2）求C，D两点坐标；
（3）抛物线上有一点P，满足，求点P的坐标．

参考答案
1．D
【解析】依题：抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，
∴ B（0，c），
∴ OB＝c，
∵ OA＝OB，
∴ OA＝c，
∴ A（c，0），
∴﹣c2+2c+c＝0，解得c＝3或c＝0（舍去），
故选：D
2．C
【解析】解：抛物线y＝2（x＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故选：C．
3．C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：C．
4．A
【解析】抛物线的顶点坐标是(-1，-3)
故选A．
5．A
【解析】解：把抛物线向右平移2个单位，可得：

再把向上平移1个单位，可得：

所以原抛物线为：
故选：
6．D
【解析】解：∵函数图象与x轴两个交点，∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故①错误，
∵抛物线顶点在y轴左侧，与y轴交于正半轴，∴ab＞0，c＞0，则abc＞0，故②正确，
∵−＝−1，则b=2a，∵x=-1时，y=a-b+c＜0，则a-2a+c＜0，得a＞c，故③正确，
∵对称轴为直线x=-1，则当x=-2与x=0时的函数值相等，则x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故④正确，
故选：D．
7．C
【解析】解：A、根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；
B、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，
∴x=3时，y=9a+3b+3=0，
∴9a-6a+3=0,
∴3a+3=0，
∵抛物线开口向下，则a-，故B正确；
C、点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，

连接BA´与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，
∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，
∴AB=，BA´=，
即△PAB周长的最小值为+，故C错误；
D、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确．
故选C．
8．D
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c中，a＞0，对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随着x的增大而增大，故A正确；
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+4a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴a+c＝﹣4a，
∴（a+c）2＝b2，故B正确；
∵A（x1，m）、B（x2，m）是抛物线上的两点，
∴抛物线对称轴，
∴2x＝x1+x2，
∵x＝x1+x2，
∴2x＝x，
∴x＝0，
∴此时，y＝ax2+bx+c＝c，故C正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，图象与x轴交于（﹣1，0），
∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），
∴抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标x1＞﹣1，x2＜5，如图，

∴方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣1的两根为x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜5，故D错误．
故选：D．
9．D
【解析】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

由图知，显然，
当时，将其分别代入与计算得；
，
，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，

故选：D．
10．B
【解析】解：由函数图象可得，
，，，
则，故①正确；
，得，
时，，
，
，
，故②正确；
由图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故③错误；
抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，
该抛物线与轴的另一个交点的坐标为，
的两个根为，，
的两个根为，，
一元二次方程的两根分别为，，故④正确；
该函数与轴的两个交点为，，
该函数的解析式可以为，
当时，
当对应的的值一个小于，一个大于2，
若，为方程的两个根，则且，故⑤错误；
故选：B．
11．
【解析】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y=（x-5）2+3；
故答案为：y=（x-5）2+3．
12．待定系数
【解析】略
13．（2﹣，0）．
【解析】解：由图象可得，
该抛物线的对称轴是直线x=1，
∵若点B的坐标为（，0），
∴点A的坐标为（2-，0），
故答案为：（2-，0）．
14．①②④
【解析】解：由点、的坐标知，二次函数图象的对称轴是直线，故①正确；
二次函数的图象经过点，点，
抛物线解析式为，即，
，，
，故②正确；
当时，，，
当时，则，所以③错误；
，，
方程化为，
整理得，解得，，所以④正确，
故答案为：①②④．
15．y=x2-8x+20．
【解析】= +2,其顶点坐标为(1,2).
向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为(4,4),
得到的抛物线的解析式是y=+4.
故答案为.
16．
【解析】解：设BM＝xcm，则MC＝（1﹣x）cm，
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMB+∠NMC＝90°，∠NMC+∠MNC＝90°，
∴∠AMB＝∠MNC，
又∵∠B＝∠C，
∴△ABM∽△MCN，
∴
∴，
解得：CNx（1﹣x），
∴S四边形ABCN 1×[1+x（1﹣x）]x2x，
∵，
∴当xcm时，S四边形ABCN最大，最大值是（cm2）．
故答案是：，．

17．2
【解析】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
抛物线与x轴的两交点的连线段的长度．
当抛物线与轴的两个交点及顶点构成直角三角形时，由抛物线的对称性可知该直角三角形为等腰直角三角形，
∴，
则，
若将这条抛物线向上平移k个单位后，图象与轴的两个交点及顶点恰好构成等边三角形，
此时顶点的纵坐标为．
所以，
则，
所以．
故k的值为2．
18．11
【解析】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，
则

，
所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，
故答案为11．
19．6米
【解析】
解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
由题意可知抛物线过点（6，-4）
设抛物线的函数表达式为：
把（6，-4）代入，可得
则抛物线的函数表达式为：
当水面上涨1米，水面所在的位置为直线
令，则，解得：
∴此时水面的宽为：6米．
20．（1）y（x+1）2；（2）m．
【解析】解：（1）设这个二次函数的表达式为y＝a（x﹣h）2+k．
∵当x=0和x=-2的函数值相同，
∴x=-1是抛物线的对称轴，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，），
∴y＝a（x+1）2．
∵（0，4）在抛物线上，
∴4＝a（x+1）2．
∴a．
∴这个二次函数的表达式为y（x+1）2．
（2）当x＝1时，y4，
即m．
故答案为：．
21．（1）；（2）．
【解析】（1）

或

（2）∵抛物线的顶点为，
∴设抛物线为，
∵经过点，
∴，
解得：，
∴所求的二次函数表达式为：，即．
22．（1）；（2），-4
【解析】解：（1）把，代入得：
解得：
∴二次函数的解析式为
（2）∵
∴顶点坐标为
∴当时，
23．（1）；（2）P点坐标为（−4，−8），32
【解析】解：（1）在直线y＝−x＋4中，
当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
将A（0，4），B（4，0）代入中，
可得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设P点坐标为（x，），
∵△PBO的面积是△ABO面积的两倍，
∴×4×丨丨＝2××4×4，
解得：x1＝6，x2＝−4，
又∵点P位于第三象限，
∴x＝6舍去，
当x＝−4时，y＝＝−8，
∴P点坐标为（−4，−8），
设直线PB的解析式为y＝kx＋b1，将P（−4，−8），B（4，0）代入，
可得：，解得：，
∴直线PB的解析式为：y＝x−4，
在y＝x−4中，当x＝0时，y＝−4，
∴直线PB与y轴交于点（0，−4），
如图，过点P作PM⊥y轴，连接PB交y轴于点N，连接AP，

∴△ABP的面积＝AN•（PM＋OB）＝×8×8＝32．
24．（1）10≤x≤28；（2）销售单价定为每包28元时，每天的利润最大，最大利润是15840元
【解析】解：（1）∵销售单价不低于进价，销售利润率不高于180%
∴
解得：10≤x≤28 ，
（2）由题意，得即
∵＜，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∵ 10≤x≤28， 当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴时，w有最大值，是，
答：销售单价定为每包28元时，每天的利润最大，最大利润是15840元．
25．（1）y=-x2+x+4；（2）抛物线C2的表达式为或或．
【解析】解：（1）抛物线与x轴交于点A(−1，0)、B(3，0)两点，
设解析式为：y=a(x+1)(x-3)，
把点C（0，4）代入，得a(0+1)(0-3)=4，
a=-，
故该抛物线解析式是y=-(x+1)(x-3)或y=-x2+x+4；
（2）抛物线y=-x2+x+4=，
∵B(3，0)、C（0，4）
∴BC=，
①当BC=BD时，即BC=BD，
此时D1 (-2，0)或D2 (8，0)，
若D (-2，0)时，此时抛物线，向左平移1个单位，
∴抛物线C2的表达式为，即；
若D (8，0)时，此时抛物线，向右平移9个单位，
∴抛物线C2的表达式为，即；
②当BC=CD时，则DO=BO=3，此时D3 (-3，0)，
抛物线，向左平移2个单位，
∴抛物线C2的表达式为，即；
综上，抛物线C2的表达式为或或．
．
26．（1）；（2）2
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A(﹣1，0)，B(3，0)
∴
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵
∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新的抛物线解析式为
如图，

∴顶点C（0，0），且正方形CEDF的顶点E，F在的图象上，D(0，m)
∴
∵
∴
∴
解得，（舍去）
∴
27．（1）；（2）；（3）点P的坐标是或
【解析】（1）把代入，
得，解得．
（2）联立方程组
解得或
∴．
（3）令，则，
∴，
∴，
∴．
设点P的坐标为．
则，
∴．
当时，，方程无解；
当时，，解得．
∴点P的坐标是或．