数学必修 第二册4.4 幂函数精练
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4.4幂函数同步练习人教 B版（2019）高中数学必修二
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 不等式的解集为
A. B.
C. D.
- 已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的是
A. B.
C. D.
- 设，，，，则a，b，c，d的大小关系是
A. B. C. D.
- 下列函数是幂函数且在上是减函数的是
A. B. C. D.
- 已知，，，则
A. B. C. D.
- 若幂函数的图象不经过坐标原点，则实数m的取值为
A. B. C. D. 1
- 给出下列命题：幂函数图象一定不过第四象限；函数的图象过定点；是奇函数；函数有两个零点．其中正确的个数是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
- 幂函数的图像经过点，则是
A. 偶函数，且在上是增函数
B. 偶函数，且在上是减函数
C. 奇函数，且在上是减函数
D. 非奇非偶函数，且在上是增函数
- 已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数
A. 2 B. C. 4 D. 2或
- 幂函数在上单调递增，则m的值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2或4
- 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A. 1，3 B. ，1 C. ，3 D. ，1，3
- 已知函数是幂函数，对任意的，且，满足，若a，，，则的值
A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 幂函数在上为减函数，则 ．
- 已知是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值为
- 若幂函数过点，则满足不等式的实数a的取值范围是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 函数既是幂函数又是二次函数，则 ；函数既是幂函数又是反比例函数，则 ．
- 幂函数的图象过点，则 ，的定义域为 ．
- 已知幂函数的图象经过点，则 ，函数的定义域为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知幂函数的图象关于y轴对称，且．
求m的值及函数的解析式；
若，求实数a的取值范围．
- 已知幂函数，在区间上单调递减．求函数的解析式，并讨论其单调性和奇偶性．
- 已知幂函数的图象过点．
求函数的解析式；
设函数，若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
- 若幂函数在其定义域上是增函数．
求的解析式；
若，求a的取值范围．
- 已知幂函数是偶函数，且在上单调递减，求函数的解析式，并讨论的奇偶性．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数的单调性，属于基础题．
直接根据幂函数的单调性转化为关于x的不等式，解不等式即可．
【解答】
解：因为在上递增，且，
则，解得或．
即原不等式的解集为
故选：A．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了分类讨论方法、函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
非零实数a，b满足，通过分类讨论可得再利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．
【解答】
解：非零实数a，b满足，
，时，，可得，可得．
，时，，可得恒成立，故满足题意．
，时，，可得不成立，故不满足题意．
，时，，可得，可得．
综上可得：．
利用函数在R上单调递增，可得故A正确．
而当时，不成立，故B错误；
当时，，即，故C错误；
当时，，
又函数在上单调递减，
此时有，故D错误．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用指数函数、幂函数的单调性，可得a，b，c，d的大小关系．
本题主要考查指数函数、幂函数的单调性．
【解答】
解：，，，，
函数是R上的减函数，；
是R上的减函数，
而是R上的增函数，；
是R上的增函数，．
再根据，，．
综上可得，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义、图象与性质进行判断即可．
本题考查了幂函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题目．
【解答】
解：对于A，函数是幂函数，在上是增函数，不合题意；
对于B，函数是幂函数，且在上是增函数，不合题意；
对于C，函数不是幂函数，不满足题意；
对于D，函数是幂函数，且在上是减函数，符合题意．
故选D．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查幂函数、指数函数的性质，以及实数的大小比较，属于基础题．
根据指数函数和幂函数的单调性，将a、b、c分别转化为同底数或者同指数进行比较，从而得出答案．
【解答】
解：因为，，
又因为函数在上单调递增，且，
所以，即，
又函数为R上的增函数，且，
所以，即，
所以，即．
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数的定义和图象，属于中档题．
根据幂函数的定义和图象求出m的值即可．
【解答】
解：因为是幂函数，
所以，解得或，
当时，，函数图象过原点，不合题意
当时，，函数图象不过原点，符合题意．
故．
故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数，对数函数，幂函数的图象和性质．
根据指数函数，对数函数，幂函数的性质依次判断即可．
【解答】
解：根据幂函数的性质，可知幂函数图象一定不过第四象限，故对；
函数，
令，可得，代入可得，图象过定点，故对；
令，定义域为，
因为，且的定义域关于原点对称，
所以是奇函数，故对；
函数的零点可以看成函数与的交点问题，
易知两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故对；
故选：D．
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查幂函数性质，属中档题．
由幂函数经过点，求出幂函数的解析式，从而可得函数的奇偶性，以及在单调性．
【解答】
解：设幂函数的解析式为：，
将代入解析式得：
，解得，
，
则函数为非奇非偶函数，且在 上是增函数，
故选D．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是求出符合题意的m值， 根据幂函数的定义，令，求出m的值，再判断m是否满足幂函数在上为减函数即可．
【解答】
解：幂函数，
， 解得，或；
又时为减函数，
当时，，幂函数为，在为减函数，满足题意；
当时，，幂函数为，在为增函数，不满足题意；
综上，，
故选A
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．
【解答】
解：由题意得：，
解得，
．
故选：C．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的性质，属于基础题．
逐项验证定义域和奇偶性即可．
【解答】
解：函数的定义域是，
函数的定义域是，
函数和的定义域为R，且为奇函数．
故选A．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义求出m的值，再根据条件判断单调性，由得出结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于中档题．
【解答】
解：已知函数 是幂函数，
，，或 ，，或．
对任意的，且，满足，
故是增函数，．
若a，，，即，，即，即．
则，
故选：B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的定义和单调性，属于基础题．
根据幂函数的定义列出方程求出m的值；将m的值代入检验函数的单调性即可．
【解答】
解：由题有，则或．
当时，在上为增函数，不合题意，舍去；
当时，在上为减函数，满足要求．
故答案为．
14.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的应用，属于基础题．
依题意，，得或，再验证在上是减函数，即可得到答案．
【解答】
解：依题意，，得或，
验证知，当时，幂函数在上是减函数．
故答案为2．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查幂函数的定义与性质，根据幂函数过点求出函数解析式，再转化，求出解集即可．
【解答】
解：设幂函数，其图象过点，
所以，
解得，
所以，
因为函数在R上递增，
且，
故，
解得，
所以不等式的实数a的取值范围是．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了幂函数的性质、函数的表示方法等，属于基础题根据幂函数与二次函数的定义确定的解析式，再根据幂函数与反比例函数的定义确定的关系式．
【解答】
解：因为是幂函数，所以设为常数，
又因为又是二次函数，所以，即
因为是幂函数，所以设为常数，
又因为又是反比例函数，所以，即
故答案为：；
17.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了根据函数图象上的点求函数解析式，求复合函数定义域，属于中档题
设出幂函数的解析式，由图象过点，求出解析式，从而求出的值以及的定义域．
【解答】
解：设幂函数，其图象过点，；解得，，故，
定义域为，对可得，解得：，故函数的定义域为：．
故答案为2；
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了幂函数的定义，考查求函数值和定义域问题，是一般题．
利用幂函数经过的点，求出幂函数的解析式，然后代入即可求得；因为，所以令即可得出函数的定义域．
【解答】
解：幂函数的图象经过点，所以，．
所以幂函数为：，，
故，
由，解得：，
则函数的定义域为．
故答案为，．
19.【答案】解：由题意，函数的图象关于y轴对称，且，
所以在区间上单调递增，
所以，解得，
由，得，
又函数的图象关于y轴对称，
所以为偶数，
所以，所以．
因为函数图象关于y轴对称，且在区间上单调递增，
所以不等式，等价于，
解得或，
所以实数a的取值范围是．
【解析】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
由函数的图象关于y轴对称，且，得到函数在区间上单调递增，即，再由且为偶数求得m的值．
根据函数图象关于y轴对称，且在区间上单调递增，将不等式，转化为求解．
20.【答案】解：在上单调递减，
，解得，
，
，或．
当时，．
，又定义域关于原点对称，
是偶函数．
由知，在上单调递减，在上单调递增．
当时，．
，又定义域关于原点对称，
是奇函数，且在上单调递减，在上单调递减．
【解析】本题考查幂函数的性质，属于基础题．
由幂函数的性质可得，再根据函数在上为减函数和确定m的值；求出函数的定义域，判断与的关系得出函数的奇偶性，从而得到单调性
21.【答案】解：幂函数的图象过点，
，
，
；
函数，
，对称轴为
在上为减函数，
时，，
所以a的取值范围为．
【解析】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了二次函数的性质，是中档题．
根据幂函数的图象过点，列方程求出的值，写出的解析式；
写出函数的解析式，根据二次函数的对称轴与单调性求出a的取值范围．
22.【答案】解：由函数是幂函数，
所以，解得或；
当时，，在定义域R上是增函数，满足题意；
当时，，在定义域上不是增函数，不满足题意；
所以，．
由知，在定义域R上是增函数，
所以不等式等价于，
化简得，
解得：或，
所以a的取值范围是．
【解析】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于中档题．
根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断m的值是否满足题意；
由在定义域R上是增函数，把不等式化为，求出解集即可．
23.【答案】解：幂函数是偶函数，且在上单调递减，
为负的偶数，
，，
显然，的定义域为，为偶函数，即．
对于 ，
，
故当、时，，满足，函数为偶函数；
当时，，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，若时，，满足，为奇函数；
当时，若时，不满足，也不满足，函数为非奇非偶函数．
【解析】本题主要考查幂函数的性质，函数的奇偶性的判断方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
由题意利用幂函数的性质，求得的解析式，可得的解析式，根据函数的奇偶性的判断方法，分类讨论a、b的值，得出结论．
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