高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量线性运算的应用课后复习题

6.3平面向量线性运算的应用同步练习人教 B版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 点O为所在平面内一点，，，则的形状为

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

2. 在中，向量与满足，且，则为   

A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形

3. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

4. 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足则点P的轨迹一定通过的

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

5. 设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知，则是

A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

6. 已知是不共线的非零向量，，，，则四边形ABCD是     

A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形

7. 如图，在矩形ABCD中，，分别为的中点，G为EF中点，则   

A.
B.
C.
D.

8. 已知O是平面内一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的   

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

9. 已知非零向量与满足且 则为

A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形

10. 在四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为   

A.  B.  C. 5 D. 10

11. 如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度g取，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为

A.  B.  C.  D.

12. 已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力，则等于

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在锐角三角形ABC中，已知，则的取值范围是          ．
14. 已知A，B，C为圆O上的三点，若，则与的夹角为          ．
15. 一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60m，若纤绳与行进方向的夹角为，纤夫的拉力为50N，则纤夫对船所做的功为          ．
16. 平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为           

三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）

17. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则          ；

           ．

18. 边长为3的等边中，边AC上有D，E两点．

若D，E三等分AC，则          ．

若D，E在AC上运动，且，则的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 如图所示，在中，点D在边BC上，且，，．

若，求BC的值；

若BC边上的中线，求AC的值．






 

20. 在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

求BC；

求的值．






 

21. 如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为P．
     

若，求AP的长；

设，，，，求的值．






 

22. 在中，点E是边BC的中点，点F是边AC的中点，点G是线段AE上的一点，且，判断FG是否平行于AB．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图平行四边形，点M是的中点，点N在上，且求证：M，N，C三点共线．     
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的几何应用，属于中档题．
利用向量的加法、减法运算得，再利用向量垂直的判断得，再利用单位向量和的几何意义得OA在的平分线上，从而得结论．
 

【解答】

解：，
，．
，在的平分线上，
是等腰三角形．
故选B．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的几何应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题．
利用单位向量的定义及向量的数量积为0时两向量垂直，得到等腰三角形，利用向量的数量积求出三角形边的夹角，得到等腰直角三角形．

【解答】

解：因为，
所以的平分线与BC垂直，

所以三角形ABC是等腰三角形，且．
又因为，

所以，
所以三角形ABC是等腰直角三角形．
故选D．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的线性运算和几何意义，属中档题．
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的角平分线一致，再由，可得答案．

【解答】

解：、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的角平分线一致，
又，

向量的方向与的角平分线一致
的轨迹一定通过的内心
故选：B．

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查单位向量的概念以及向量的加法、减法、数乘运算，考查向量的几何运用，属于中档题．
先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定的方向与的平分线一致，再由条件可得到向量的方向与的平分线一致，可得答案．

【解答】

解：、分别表示向量、方向上的单位向量，
的方向与的平分线一致．
又，
，
又
向量的方向与的平分线一致，
点P的轨迹一定通过的内心，
故选：B．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题．
通过向量线性运算以及数量积的运算得到，即可得到答案．

【解答】

解：，

，
即，．

为等腰三角形．
故选B．

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量加法及数乘运算，向量的几何运用，属于基础题．
利用向量的加减运算法得，再利用共线向量得且，从而得结论．

【解答】解： 因为

，
所以且，
因此四边形ABCD是梯形．
故选A．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，属于中档题．
建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的x与y的值．

【解答】
解：建立平面直角坐标系，如图所示；

矩形ABCD中，，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，
设，则，，，
，，，，
设，
则，
即，
解得，，
．
故选C．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的线性运算和几何意义．
由题意易知的方向与的方向相同，求得点P在上移动，继而可得点P的轨迹过的内心．

【解答】

解：为上的单位向量，为上的单位向量，
则的方向为的平分线的方向．

又，
的方向与的方向相同．
，
点P在上移动．

点P的轨迹一定通过的内心．
故选B．

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题．
通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过，求出，然后判断三角形的形状．

【解答】

解：因为，
所以的平分线与BC垂直，
则，三角形是等腰三角形，
又因为，
则，
所以，
所以三角形是等边三角形．
故选D．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可．

【解答】

解：因为在四边形ABCD中，，，，
所以四边形ABCD的对角线互相垂直，
又，，
该四边形的面积为．
故选C．

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量在物理中的应用问题．
根据8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，列方程求出拉力的大小．

【解答】

解：由题意知，8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等，
设每根绳子的拉力为T，则，
解得：
故选：B．

12.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的运算及物理方面应用，属于基础题．
根据物理学知识知平衡就是合力为零，所以，再用向量坐标运算可得．

【解答】

解：由题意知，

，，．
故选D．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量数量积的运算，向量的几何运用，向量的坐标运算，考查了数形结合思想，属于中档题．
以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．

【解答】

解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，

因为，
所以，
设 ，
因为是锐角三角形， ，即，
所以，
得到，即点A在如图的线段DE上不与D，E重合，
所以，
易知，，
则，
又易知函数在上为增函数，
当时，，当时，，
，
的取值范围为，
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量中点表达式、向量的夹角，属于基础题．
根据已知的向量表达式得到点O是线段BC的中点，根据三点A、B、C都在圆上得到BC为圆的直径，进而得解．

【解答】

解：由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，
故在中，BC边对应的为直角，
即与的夹角为．
故答案为：

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量数量积在物理中的应用，属于基础题．
根据向量的物理意义求解．

【解答】

解：由题意可知，纤夫拉力，位移，
做功为，
故答案为J.

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量在物理中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据题意，所以展开求解即可．

【解答】

解：由题已知，，


，
，
故答案为：．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于基础题．
根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．

【解答】

解：由，可得P为BC的中点，则，
，

，
故答案为；．

18.【答案】

 

【解析】

【分析】

本题考查向量的几何运用，平面向量的坐标运算，两角差的正切公式，涉及二次函数的值域，考查运算化简的能力，属于较难题．
由题意，取BC的中点O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
求出，的坐标，利用向量的夹角公式可得；
设，，根据坐标求出，，由，再由二次函数可得结论．

【解答】

解：由题意，取BC的中点O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

若D，E三等分AC，则，，，，，
．
设，，则，，
，
，



，
，
当时，取最大值，
当或2时，取最小值．
故的取值范围是
故答案为；

19.【答案】解：由题意得，
在中，由正弦定理得，
即，所以．
由知．
因为为钝角，
所以．
因为，所以．
又，，
所以，
即，
所以，
解得或舍去．
 

【解析】本题主要考查的是正弦定理，同角三角函数的关系，向量的几何运算的有关知识．
由题意得，然后利用正弦定理进行求解即可；
由知进而求出，根据得到，然后得到，从而解出此题．
 

20.【答案】 解：因为，，，
所以由余弦定理得，
；
 ，
，
，
，
则
，
．
 

【解析】本题考查余弦定理及平面向量的加减运算，同时考查平面向量的数量积运算及夹角的求解．
由已知数据，利用余弦定理求解即可；
将，用表示，然后结合平面向量的数量积和夹角公式求解即可．
 

21.【答案】解：，
解得．

，且三点共线，
，
又，，，
，
由可知，
展开化简得到，
联立解得，，故．

【解析】本题主要考查了向量的几何运用，向量的数量积，平面向量的基本定理及其应用，向量的加法、减法、数乘运算，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．
根据题意可知，从而即可求得AP的长．
由且三点共线可知，再根据和可得，从而即可求得的值．
 

22.【答案】解：因为点F是边AC的中点，点E是边BC的中点，

所以，

因为，

所以．

所以．

因为与不共线，

所以FG不平行于AB．

【解析】本题考查了平面向量的基本定理及其应用、平面向量共线的充要条件利用向量，将原问题转化为是否存在实数，使得．
 

23.【答案】证明：由于M是AB的中点，且，
所以
，

，

所以M，N，C三点共线．

【解析】本题考查利用向量证明三点共线，属于中档题．
用向量，表示向量，，得到，即可得证．