上教版（2020）必修 第一册第5章 函数的概念、性质及应用5.3 函数的应用精品同步练习题

这是一份上教版（2020）必修 第一册第5章 函数的概念、性质及应用5.3 函数的应用精品同步练习题，共21页。试卷主要包含了6函数的应用高中数学必修二，0分），28，T=6，2天B，【答案】C，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为( )
A. 4小时B. 478小时C. 41516小时D. 5小时
某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A. 16小时B. 20小时C. 24小时D. 28小时
我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y关于x的函数关系式为( )
A. y=12x，x∈N*B. y=x12，x∈N*
C. y=2x，x∈N*D. y=12x，x∈N*
基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(ln2≈0.69)
A. 1.2天B. 1.8天C. 2.5天D. 3.5天
一种药在病人血液中的量保持以上才有效，而低于病人就有危险．现给某病人注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
(附：，，答案采取四舍五入精确到
A. 2.3小时B. 3.5小时C. 5.6小时D. 8.8小时
牛顿曾经提出常温环境下的温度冷却模型：t=−1kln θ−θ0θ1−θ0(t为时间，单位分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度，环境温度，常数k=0.2，大约经过多少分钟水温降为结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.7)( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η=10lg II0(其中l0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，则60 dB的声音强度I1是50 dB的声音强度I2的( )
A. 76倍B. 1076倍C. 10倍D. ln76倍
2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球土壤样品，在预定区域安全着陆．嫦娥五号是使用长征五号火箭发射成功的，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系表达式为v=2000ln(1+Mm).如果火箭的最大速度达到12km/s，则燃料的质量与火箭的质量的关系是( )
A. M=e6mB. Mm=e6−1
C. lnM+lnm=6D. Mm=e6−1
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质10%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为( )(参考数据lg2=0.3010，lg3=0.4771)
A. 30B. 29C. 28D. 27
用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法．根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：ml/L)之比为常数K，并称K为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数．现用一定体积的有机溶剂进行n次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010+K倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为1.0ml/L，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20，则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于1.0×10−5ml/L?( )(假设萃取过程中水溶液的体积不变．参考数据：ln3≈1.099，ln10≈2.303.)
A. 9次B. 10次C. 11次D. 12次
科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ=年3月13日下午江西鹰潭余江区发生里氏3.1级地震，2020年1月1日四川自贡发生里氏4.3级地震，则自贡地震所散发出来的能量是余江地震所散发出来的能量的( )倍．
A. 2B. 10C. 100D. 1000
某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )
A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4％的速度增加.按这个增长速度，大约经过 年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：lg2≈0.30,lg13≈1.11)
2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N0只．则经过 天能达到最初的16000倍(参考数据：ln1.05≈0.0488，ln1.5≈0.4055，ln1600≈7.3778，ln16000≈9.6803)．
如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD作匀速运动，CQ=x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB=y).令P与Q同时分别从A，C出发，那么，定义x为y的纳皮尔对数，用现在的数学符号表示x与y的对应关系是y=107(1e)x107，其中e为自然对数的底，当点P从线段AB的三等分点移动到中点时，经过的时间为 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度)随时间变化的函数符合c1(t)=16(1−2−t4)，此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4到15之间，当达到上限浓度时，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合c2(t)=15⋅2−t4.一病患开始注射后，最迟隔 小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔 小时开始进行第二次注射．(计算结果精确到个位数，参考数据：lg 2≈0.3，lg3≈0.48).
某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P=P0⋅ekt，其中e是自然对数的底数，k为常数，(P0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则k= ；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为 ．
(参考数据：lg52≈0.43)
为了研究口服某流感药物后人体血液中药物浓度随时间的变化规律，西南大学附属中学高三数学兴趣小组以本班同学为试验对象(被试)，通过记录口服该流感药物x(小时)时被试血液中药物浓度y(毫克/毫升)的方式获取试验数据.经多次试验发现，被试服用药物后，血液中药物浓度y(mg/ml)与时间x(h)成正比升高，当x=1h时药物浓度达到最高10 mg/ml.此后，被试血液中药物浓度以每小时25%的比例下降.根据以上信息完成：
(1)从被试服用药物开始，其血液中药物浓度y (mg/ml)与时间x (小时)之间的函数关系式为 ．
(2)如果一位病人上午8：00第一次服药，为使其血液中药物浓度保持在5mg/ml以上，那么这位病人第三次服药时间最迟为 (每次服药时间均以整点为准)．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
某商场为回馈客户，开展了为期15天的促销活动.经统计，在这15天中，第x天进入该商场的人次f(x)(单位：百人)近似满足f(x)=5+5x，而人均消费g(x)(单位：元)与时间x成一次函数，且第5天的人均消费为600元，最后一天的人均消费为800元．
(1)求该商场的日收入y(单位：元)与时间x的函数关系式；
(2)求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值．
2020年初开始新型冠状病毒在全球肆虐，为治疗新冠肺炎患者，某医药研究所开发一种新药进行临床试验，据监测：成年人服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+k(p>0,k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4711)．
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前nn∈N*年的支出成本为10n2−5n万元，每年的销售收入95万元．
(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及分段函数求解析式和指数不等式的求解，同时考查了计算能力，属于中档题．
根据图象先求出函数的解析式，然后解不等式f(t)≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．
【解答】
解：由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一条线段，
由于图象过原点与点M(1,4)，
故其解析式为y=4t，0≤t≤1；
当t≥1时，函数的解析式为y=(12)t−a，
此时M(1,4)在曲线上，
将此点的坐标代入函数解析式得4=(12)1−a，
解得a=3，
故函数的解析式为y=(12)t−3，t≥1．
所以y=f(t)=4t(0≤t2．
所以y=f(t)=2t(0≤t⩽2)(12)t−4(t>2)．
(2)由题意，令f(t)≥0.125=18，
当0≤t≤2，2t≥18，解得t≥116，
当t>2，12t−4⩾18=123，即t−4≤3，解得t⩽7，
∴7−116=6.9375．
∴服药一次治疗疾病有效的时间为6.9375个小时．
【解析】本题考查函数模型的实际应用，已知函数图象求函数的解析式，是一种常见的题型，关键是要知道函数的类型，首先设出函数的解析式，然后将函数图象上的点的坐标代入求出参数的值，即可得到要求函数的解析式．
(1)由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M(2,4)，故我们可将M点代入函数的解析式，求出参数值后，即可得到函数的解析式．
(2)由(1)的结论我们将函数值18代入函数解析式，构造不等式，可以求出每毫升血液中含药量不少于18微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间．
21.【答案】解：(1)函数y=kax(k>0,a>1)与y=px12+k(p>0,k>0)在(0,+∞)上都是增函数，
随着x的增加，函数y=kax(k>0,a>1)的值增加的越来越快，而函数y=px12+k的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y=kax(k>0,a>1)符合要求．
根据题意可知x=2时，y=24；x=3时，y=36，
∴ka2=24ka3=36，解得k=323a=32．
故该函数模型的解析式为y=323⋅(32)x，1≤x≤12，x∈N*；
(2)当x=0时，y=323，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是323m2，
由323⋅(32)x>10×323，得(32)x>10，
∴x>lg3210=lg10lg32=1lg3−lg2≈5.9，
∵x∈N*，
∴x≥6，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
【解析】本题考查函数模型的选择及应用，考查指数不等式的解法，考查运算求解能力，是中档题．
(1)由题意结合给出的两个函数模型增加的快慢程度，可知选择模型y=kax(k>0,a>1)符合要求，进一步列关于a与k的方程组，求得a与k的值，则函数解析式可求；
(2)取x=0求得元旦放入凤眼莲的覆盖面积，再由题意列指数不等式求解即可．
22.【答案】解：(1)设f(x)=k1x，g(x)=k2x，
则f(1)=18=k1，g(1)=k2=12，
∴f(x)=18x(x≥0)，g(x)=12x(x≥0)
(2)设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20−x万元．
则收益为：y=f(x)+g(20−x)=x8+1220−x(0≤x≤20)
令t=20−x，则y=20−t28+12t=−18(t−2)2+3．
所以当t=2，即x=16万元时，收益最大，ymax=3万元．
故当投资债券类产品16万元，股票类为4万元时，收益最大，最大收益为3万元．
【解析】本题考查函数模型的综合应用，属于中档题．
(1)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)由(1)的结论，我们设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20−x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．
23.【答案】 解：(1)设fn为前n年的总盈利额，单位：万元；
由题意可得fn=95n−10n2−5n−90=−10n2+100n−90=−10n−1n−9，
由fn>0得1