五年级下册数学教案-暑假培优:5.12较复杂的容斥原理全国通用
展开12. 包含与排除
——较复杂的容斥原理
学习目标:
- 理解并掌握容斥原理,掌握韦恩图的画法。
- 利用方法解决不同类型的容斥问题。
- 培养学习兴趣,提升能力。
教学重点:
理解并掌握容斥原理,掌握韦恩图的画法。
教学难点:
有三类事物时,对韦恩图的理解。能够独立分析这类问题。
教学过程:
一、情境体验
公主迎来自己20岁的生日,国王想在生日晚会上为公主选一位驸马,但是来自各国求婚的王子很多,他们都各有本领,于是国王听宰相的建议向王子们提出了几点要求,可是满足要求的有多少人呢?这就是我们今天要学习的问题——较复杂的容斥原理(板书课题)
二、思维探索(建立知识模型)
展示例1
例1: 一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
点生读题
师:至少有一门得满分是什么意思?
生:只有语文得满分,只有数学得满分,以及语文和数学都得满分的人全部加起来。
师:说的很好,因为涉及的量有3个,我们可以画图来表示(展示ppt中例1方法一)。
师:老师只画了两个圆,两门都得满分的人应该怎样表示呢?
生:数学得满分的人包括只有数学得满分和两门都得满分的,语文也是一样。
师:所以可以如图中所示,现在这样表示你会做了吗?
生:只有数学得满分的有15-4=11(人),同理只有语文得满分的有8人,最后把3个量的人数加起来为23人。
师:除了这个方法,你还能想出别的方法吗?
(点生回答,介绍方法二、方法三)
师:今天我们重点学习方法三,既然有两门都得满分的,我们让两个圆相交,这样画可不可以?(如下图,引导学生说出三个部分各表示什么意思)
师:这个方法叫做韦恩图,题目让我们求的是图中哪部分?
生:整个图形。
师:怎么算你知道了吗?
生:两个圆各自的人数加起来,因为4多加了一次,所以最后减4。
师:大家掌握的都很快。
小结: 如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
展示例2
例2:榆树园小学五(1)班许多同学参加了学习小组。已知参加语文学习小组的有35人,参加数学小组的有32人,参加英语小组的有45人,同时参加语文和数学小组的有10人,同时参加语文和英语小组的有12人,同时参加数学和英语小组的有15人,三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少学生参加了学习小组?
师:题目比较长,同学们先仔细读题,想一想能用刚才学习的方法吗?
生:应该可以,不过刚才有两类事物,现在有三类,不知道该怎么画图。
(展示ppt,引导学生理解图如何画,每个部分表示什么意思,并点生回答进行巩固)
师;现在来看题目问的是什么问题?
生:一共有多少学生参加了学习小组。
师:注意是求参加学习小组的学生有多少人,是图中的哪部分呀?
生:整个图形。
师:我们一起来看应该如何计算。如果把三个圆的人数都加起来对吗?
生:不对,有重复加的部分,还需要减去两两相交的部分。
师:这样做完了吗?想一下三个都相交的部分该如何处理?
生:还要加上三个都相交的部分。
小结:如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
三、思维拓展(知识模型的运用)
展示例3
例3: 六(1)班有学生44人,每人在暑假里都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人,排球、游泳都参加的有14人。三项都参加的有多少人?
师:看完题目你会做吗?跟例2一样吗?
生:题目条件类似,但问题不同。
师:你能画图来表示吗?(点生演板,确定画图正确,点生回答各部分的意思)
师:根据例2所学的方法,你能做出这道题吗?
(做几分钟,出示公式)
师:A或B或C是不是44人,为什么?
生:是44人,因为每人暑假里都参加了体育训练队。
师:非常好,这里审题时一定要注意,否则容易出错。(列式计算)
展示例4
短跑 | 游泳 | 投掷 | 短跑、游泳 | 短跑、投掷 | 游泳、投掷 | 短跑、游泳、投掷 |
17 | 18 | 15 | 6 | 6 | 5 | 2 |
例4: 某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一项达到了优秀,达到了优秀的这部分学生情况如下表:
这个班的学生共有多少人?
师:试着画一下韦恩图。(检查学生画图情况)
师:整个图形表示的人数是什么?是不是全班总人数?
生:不是,表示的是至少有一项达到优秀的人数。
师:所以一定要认真审题,图形可以变一下(如下图,点生回答)
师:达到优秀的学生有多少?
生:35人。
师:全班人数怎么求?
生:35+4=39(人)。
小结:容斥原理一定要认真审题,画出正确的韦恩图。
四、融会贯通(知识模型的拓展)
展示例5
例5: 边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上,它们盖住的面积是多少平方厘米?
师:看完题目有什么样的感觉?
生;很繁琐,跟前面的例题相同又好像有区别。
师:既然今天学习容斥原理,那么肯定和刚才的
方法有关。
师:我们来类比一下,这里有几个正方形?
生:三个。
师:它们是怎样放在桌面上的?
生:有不重叠的部分,有两两重叠的部分,还有三个都重叠的部分。
师:说的非常好,那么和前面有相同吗?
生:噢,我知道了,是一样的,把三个正方形的面积加起来,减去两两重叠的面积,再加上三个都重叠的面积。
师:非常聪明,我们一起来看一下,是不是每个部分的面积都求的出。为了方便,最大的正方形记作A,中等的记作B,最小的记作C。(点生回答)
五、总结
1. 如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
2. 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
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