小学数学北京版五年级上册3. 三角形教学设计

07  隐形小帮手

                                   —— 三角形和多边形的内角和 

学习目标:

1、认识任意一个三角形的内角和为180°，运用三角形的内角和解决图形相关数学问题。

2、掌握多边形内角和公式，灵活运用多边形内角和公式求出多边形的内角和，通过多边形的内角和判断一个多边形的边数。

3、培养学生发现问题，解决问题的能力，训练学生的数学图形的感官认识，让学生认识数学在实际生活中的广泛运用。 

教学重点:

1、运用三角形内角和解决图形的相关问题。

2、掌握多边形内角和的计算公式，会通过多边形内角和判断多边形的边数。

教学难点：

1、运用三角形内角和解决图形的相关问题。

2、会通过多边形内角和判断多边形的边数。

教学过程：

一、情景体验

师：同学们，上课前老师给大家讲一个故事。著名的数学家帕斯卡与“三角形内角和”的故事。（课件展示故事内容）

师：在我们的生活中随处可以看到一些几何图形，许多著名的建筑也正是利用了几何图形的对称性，今天这节课我们就一起来探究一下与图形有关的数学问题。（板书课题）

二、思维探索（建立知识模型）

展示例题：

     例1：根据已知条件，计算∠C的度数。

师：仔细观察图形，你发现了什么？

生：AB、AD、BD、BC这四条边的长度是一样的，都是15。

师：你观察的很仔细。△ABD的三条边都相等，即为一个等边三角形，△DBC的两条边相等，是一个等腰三角形。但是问题中要求的是∠C的度数，如何求呢？

生：先求∠ABD的度数，因为三角形的内角和为180°，等边三角形每个角都相等，所以∠ABD=180°÷3=60°。

师：很好，那么求出∠ABD的度数后呢？

生：因为△DBC是等腰三角形，∠C与∠BDC相等，所以可以先求∠DBC的度数，再求∠C。

师：很好，自己尝试完成下面的过程。（学生自主完成，汇报结果）

解题步骤：180°÷ 3 = 60°

         180°- 60°= 120°

  (180°- 120°)÷2 = 30°

小结：任意一个三角形的内角和是180°，用180°减去其中两个角的度数，就能求出第三个角了。但是题目往往只告诉一个角的度数或者不告诉角的度数，而将角的度数作为隐含条件。这就要求我们要仔细审题，认真思考，善于发现这些隐含条件所包含的信息。

三、思维拓展（知识模型拓展）

展示例题：

    例2：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=70°，求∠BOC的度数。

师：观察图形，你发现了什么？

生：∠A=70°。

师：很好，要求∠BOC的度数，要先求出哪些角的度数呢？

生：可以先求出∠2与∠4的度数。

师：问题中告诉了我们∠A的度数，告诉了我们∠1=∠2，∠3=∠4，我们可以先尝试求出∠ABC和∠BCA的度数之和，然后再求∠2+∠4的和就可以了，同意老师的想法吗？（同意）自己尝试完成下面的解题过程。（教师引导，学生自主完成，汇报结果）

解题步骤：180°- 70° = 110°    110°÷2 = 55°    180°- 55° = 125°

展示例题：

    例3：在△ABC中，已知∠A=2∠B，∠B=3∠C，请你判断三角形的形状。

师：思考一下，要判断三角形的形状，该如何判断呢？

生：根据三角形的内角度数来判断。

师：很好，同学们还记得三角形的分类吗？谁能给我们说一说。

生：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

师：非常好。谁能说的更详细一些呢？

生：如果三个角的度数都小于90°，这个三角形就是锐角三角形；如果有一个角是直角的三角形就是直角三角形；如果有一个角大于90°小于180°就是钝角三角形。

师：你真是太棒了。因为三角形三个内角的和为180°，要判断三角形的形状，我们只用计算它的内角度数，是这样吗？（是的）

师：问题中告诉了我们三角形的三个内角之间的关系，你还能得到其他的关系式吗？

生：∠A+∠B+∠C=180°

师：很好，这样我们把∠A=2∠B，∠B=3∠C代入到刚刚的式子中，问题是不是就很容易解决了，自己尝试做一下。（学生自主完成，教师总结）

解题步骤：∠A+∠B+∠C=180°

         2∠B+∠B+∠C=180°

             3∠B+∠C=180°

             9∠C+∠C=180°

                10∠C=180°

                  ∠C=18°

师：求出了∠C=18°，那么∠B=3×18°= 54°，∠A=2×54°= 108°，你能判断出三角形的形状了吗？

生：钝角三角形，因为有一个角是108°，大于90°。

师：真棒！

四、融汇贯通（知识模型的运用）

展示例题：

例4：任意一个四边形的内角和是多少度？任意一个五边形的内角和是多少度？六边形、七边形……n边形呢？

师：大家回顾一下，在前面的学习中，我们学习过长方形，大家还记得它的内角和是多少吗？

生：360°。

师：正确。那么大家猜测一下任意一个四边形的内角和会是多少呢？

生：还是360°。

师：是吗？我们先一起来探究一下，这里有一些任意的四边形图形，大家知道一个周角是多少度吗？

生：也是360°。

师：现在我们将这个四边形的四个角用剪刀剪下来，看一看可不可以拼成一个周角呢？（学生动手，自主探究，汇报结果）

生：可以。

师：既然可以，说明我们的四边形的内角和就是360°。思考一下，还有其他证明的方法吗？前面我们学习了三角形内角和是180°，我们可不可以将四边形转化为三角形呢？（教师引导，学生动手操作）

师：观察图形，连接四边形对角线，将四边形分为

两个三角形，发现：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°

所以可以得到四边形的内角和：2×180°=360°。

那么五边形、六边形、一直到n边形呢？

生：也可以把它们分成几个三角形，再求和。

师：现在大家还是动手画一下吧。（学生自主探究，教师总结）

四边形：2×180°=360°

五边形：3×180°=540°

六边形：4×180°=720°

七边形：5×180°=900°……

师：观察以上算式，你发现了什么？

生：分成的三角形的个数比边数少2。

师：回答的非常正确。

小结：多边形内角和公式：

              n边形内角和=（n-2）×180°

展示例题：

例5：内角和是1800°的平面图形是几边形？

师：分析问题，如果已知内角和判断这个图形是几边形该如何判断呢？

生：根据多边形的内角和公式就可以计算出来。

师：回答的非常正确，动手算一算。（学生汇报结果，教师总结）

解题步骤：因为n边形内角和=（n-2）×180°

          1800°÷ 180°= 10

          10+2=12

          所以这个平面图形是12边形。

五、总结

   通过这节课的学习，你学到了什么？