高中人教A版 (2019)第六章 计数原理本章综合与测试同步训练题

第六章  章末测试

一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分）

1．（2020·全国高二单元测试）若a∈N＋，且a < 20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】.故选：D

2．（2020·全国高二课时练习）下列问题属于排列问题的是（    ）

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作为中的底数与真数

A．①④ B．①② C．④ D．①③④

【答案】A

【解析】排列的概念：从个元素中取个元素，按照一定顺序排成一列，

由题可知：①④中元素的选取有顺序，②③中元素的选取无顺序，

由此可判断出：①④是排列问题，故选：A.

3．（2020·全国高二单元测试）用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（    ）

A．48个 B．64个

C．72个 D．90个

【答案】C

【解析】满足条件的五位偶数有：.故选：C.

4．（2020·贵州省黎平县第三中学高二期末）的展开式中常数项为（    ）

A． B．5 C．10 D．

【答案】C

【解析】由题得二项式展开式的通项为，

令.所以所求常数项为.故选：C.

5．（2020·三门峡市外国语高级中学高二期中）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点向结点传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（    ）

A．26 B．24 C．20 D．19

【答案】D

【解析】依题意，首先找出到的路线，

①单位时间内从结点经过上面一个中间节点向结点传递的最大信息量，从结点向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点最大传递分别是4个和3个，此时信息量为个．

②单位时间内从结点经过下面一个中间结点向结点传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点，所以此时信息量为个．

③综合以上结果，单位时间内从结点向结点传递的最大信息量是个．

故选：．

6．（2021·广东）展开式中含项的系数为（    ）

A．25 B．5 C． D．

【答案】C

【解析】展开式通项，

令可得，令可得；

含项的系数为：.故选：.

7．（2020·广东佛山市）将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ）

A．315 B．640 C．840 D．5040

【答案】A

【解析】有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有种放法，

剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有种放法，

所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为种，

故选：A

8．（2020·南昌市八一中学高二月考）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援.现有四名志愿者医生被分配到、、、四所不同的乡镇医院中，若每所医院都要分配一名医生，则医生甲恰好分配到医院的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】基本事件总数，医生甲恰好分配到到医院包含的基本事件个数，

所以医生甲恰好分配到医院的概率为.故选：C.

二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）

9．（2020·江苏扬州市）在的展开式中，系数最大的项是第（    ）项.

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】BD

【解析】的二项展开式的通项为，展开式共19项，其中第10项的二项式系数最大，但展开式的系数为负数，第9项和第11项的二项式系数即系数相等且最大，故选：BD

10．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）设，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．中最大的是 D．当时，除以2000的余数是1

【答案】ABD

【解析】由，

得，

所以，故A正确；

，故B正确；

中最大的是，故C错误；

当时，，能被2000整除，所以除以2000的余数是1，故D正确；

故选：ABD

11．（2020·江苏宿迁市）对于展开式的二项式系数下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．当为偶数时， D．

【答案】ABCD

【解析】选项A：由组合数的运算直接可得，故选项A正确；

选项B：由杨辉三角直接可得，故选项B正确；

选项C：二项式展开式中，令，不论为奇数还是偶数，都可得，故选项C正确；

选项D：由选项C可知，故选项D错误.

故选：ABC

12．（2020·湖南）关于二项式的展开式，下列结论错误的是（    ）

A．展开式所有的系数和为1 B．展开式二项式的系数和为32

C．展开式中不含项 D．常数项为120

【答案】BCD

【解析】因为二项式，令可得所有项系数和为1，

展开式中二项式的系数和为，

展开式的通项为，

当时，得常数项为240；

当时，可得项，所以错误的应选BCD.

故选：BCD

三、填空题（每5分，4题共20分，双空题第一空2分，第二空3分）

13．（2020·苏州新草桥中学高二期中）若，则的值为_________．

【答案】

【解析】令等式中得；再令，则，

所以．故答案为：

14．（2020·河北石家庄市）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.

【答案】

【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：

要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，

、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，

所以共有种涂色方案.

故答案为：

15．（2020·新疆）若的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含项的系数为______.

【答案】18

【解析】由题意，解得，展开式中系数是，的系数是，

∴所求系数为．故答案为：18．

16．（2020·浙江台州市·高二期中）在二项式的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，项的系数为________；各项系数之和为________.(用数字作答)

【答案】       

【解析】由题意得：，，

当；可得项的系数为，

令，可得各项系数之和为：.故答案为：；.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（2020·辽宁高二期末）在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为，③各项系数之和为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由.

设二项式，若其展开式中，______，是否存在整数，使得是展开式中的常数项？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

【答案】答案不唯一，见解析.

【解析】若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即最大，由二项式系数的性质可得，；

若选填条件③，即各项系数之和为，则，即；

二项式展开式的通项：.

由，得.

即存在整数，使得是展开式中的常数项；

若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为，

则，∴.

二项式展开式的通项：.

由，得.

即不存在整数k，使得是展开式中的常数项.

18．（2020·防城港市）5个男同学和4个女同学站成一排

（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？

（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？

（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？

（4）男生和女生相间排列方法有多少种？

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，

可得排法为；

（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：

；

（3）根据题意可得排法为：；

（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，

故有排法.

19．（2020·全国高二单元测试）按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(用数字作答)

(1) 个不同的小球放入个不同的盒子；

(2) 个不同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

(3) 个相同的小球放入个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；

(4) 个不同的小球放入个不同的盒子,恰有个空盒.

【答案】（1）4096（2）1560（3）10（4）2160

【解析】(1)46＝4 096；

(2)＝1 560；

(3) ＋4＝10；或＝10；

(4) ＝2 160.

20．（2018·天津静海区）在的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项系数和与偶数项系数和；

（5）的奇次项系数和与的偶次项系数和.

【答案】（1）；（2）1；（3）奇数项的二项式系数和为，偶数项的二项式系数和为；（4）奇数项的系数和为，偶数项的系数和为；（5）的奇次项系数和为，的偶次项系数和为

【解析】设，

各项系数和为，

奇数项系数和为，偶数项系数和为，

的奇次项系数和为，的偶次项系数和为

（1）二项式系数的和为；

（2）令，，则，

所以各项系数和为1；

（3）奇数项的二项式系数和为，

偶数项的二项式系数和为；

（4）由（2）知，①，取，，

则②，

所以奇数项的系数和，

偶数项的系数和；

（5）由（4）知，的奇次项系数和为，

的偶次项系数和为.

21．（2020·湖北潜江市）已知数列的首项为1，令．

（1）若为常数列，求的解析式；

（2）若是公比为3的等比数列，试求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由为常数列，且，

所以．

（2）由是公比为3的等比数列，且，所以，

所以，

所以，

由等比数列的前项和公式，可得．

22．（2020·江苏全国）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.

(1)在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比是3∶4∶5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；

(2)已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不能构成等差数列.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】(1)解　存在.杨辉三角形的第n行由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成.

若第n行中有三个相邻的数之比为3∶4∶5，

则，

即3n－7k＝－3，4n－9k＝5，解得k＝27，n＝62.

即第62行有三个相邻的数C，C，C的比为3∶4∶5.

(2)证明　若有n，r(n≥r＋3)，使得C，C，C，C成等差数列，

则2C＝C＋C，2C＝C＋C，

即＝＋，

＝＋，

所以＝＋，

＝＋，

整理得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0，n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0.

两式相减得n＝2r＋3，

所以C，C，C，C成等差数列，

由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，

这与等差数列的性质矛盾，从而要证明的结论成立