高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.1 条件概率与全概率公式课后复习题

7.1  条件概率及全概率（精练）

【题组一 条件概率】

1．（2020·天津高二期末）一个医疗小队有3名男医生，4名女医生，从中抽出两个人参加一次医疗座谈会，则已知在一名医生是男医生的条件下，另一名医生也是男医生的概率是______

【答案】

【解析】若A为一位医生是男医生，B为另一位医生也是男医生，

∴，而，

∴，

故答案为：

2．（2020·吕叔湘中学高二期末）已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为_____.

【答案】0.75

【解析】记使用寿命超过年为事件，超过年为事件，

，

故答案为：0.75.

3．（2020·全国高三专题练习（理））小赵､小钱､小孙､小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“个人去的景点不相同”，事件为“小赵独自去一个景点”，则________.

【答案】

【解析】小赵独自去一个景点共有种情况，即，

个人去的景点不同的情况有种，即，

所以.

故答案为：.

4．（2020·全国高二课时练习）有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.

【答案】

【解析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，

又，，，

故.

故答案为：.

5．（2020·全国高三其他模拟）伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的2名队长性别相同”，表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则______.

【答案】

【解析】由已知得，，

则.

故答案为：

6（2020·全国高三专题练习（理））夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________.

【答案】

【解析】解析设事件为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知，，.

故答案为：.

7（2020·江西高二期末（文））口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为______.

【答案】

【解析】口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，

甲从中不放回的逐一取球，

，，

.

故答案为：.

8．（2020·陕西西安市·交大附中高二期末（文））从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张（取后不放回），则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________；

【答案】

【解析】由题意，从标有，，，，的五张卡中，依次抽出张，第一次抽到偶数所包含的基本事件有，，，，，，，；共个基本事件；

第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的基本事件有，，，，，；共个基本事件，

因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为.

故答案为：.

9．（2020·全国高三专题练习）某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动．

（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；

（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和．

【答案】（1）；（2），．

【解析】（1）某班从名班干部(男生人、女生人)中任选人参加学校的义务劳动，总的选法有种，

男生甲或女生乙都没有被选中的选法：

则男生甲或女生乙被选中的选法有种，

∴男生甲或女生乙被选中的概率为；

（2）总的选法有种，男生甲被选中的选法有种，∴，

男生甲被选中、女生乙也被选中选法有种，∴，

∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为．

10．（2020·全国高三专题练习）某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为，女青年志愿者3人，记为.现从这8人中选4人参加某项公益活动.

（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被选中的概率；

（2）在男青年志愿者被选中的情况下，求女青年志愿者也被选中的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设“男青年志愿者和女青年志愿者都不被选中”为事件，则，

所以所求概率为.

（2）记“男青年志愿者被选中”为事件，“女青年志愿者被选中”为事件，

则，

所以.

所以在男青年志愿者被选中的情况下，女青年志愿者也被选中的概率为.

11．（2020·河北高三月考）田忌赛马的故事出自《史记》中的《孙子吴起列传》.齐国的大将田忌很喜欢赛马，有一回，他和齐威王约定，要进行一场比赛.双方各自有三匹马，马都可以分为上，中，下三等.上等马都比中等马强，中等马都比下等马强，但是齐威王每个等级的马都比田忌相应等级的马强一些，比赛共三局，每局双方分别各派一匹马出场，且每匹马只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛胜利，在比赛之前，双方都不知道对方马的出场顺序.

（1）求在第一局比赛中田忌胜利的概率：

（2）若第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马，求本场比赛田忌胜利的概率；

（3）写出在一场比赛中田忌胜利的概率（直接写出结果）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，

齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为、、，

并且用马的记号表示该马上场比赛.

（1）设事件“第一局双方参赛的马匹”，事件“在第一局比赛中田忌胜利”，

由题意得，

，

则在第一局比赛中田忌胜利的概率是.

（2）设事件“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，

事件“田忌获得本场比赛胜利”，

由题意得，

，

则本场比赛田忌胜利的概率是.

（3）.

12．（2020·公主岭市第一中学校高二期末（理））已知一个不透明的口袋中有4个白球和8个红球，球除颜色外完全相同.

（1）若一个人从口袋中随机抽取一个球，求其抽取到白球的概率；

（2）若一个人从口袋中随机不放回连续抽取球两次，每次抽取一个球，求在第一次抽取出白球的条件下第二次抽取出的也是白球的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）从口袋中随机抽取一个球，抽取到白球的概率.

（2）记“第一次抽取出球是白球”为事件，“第二次抽取出球是白球”为事件，则第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率，,

所以在第一次取出白球的条件下第二次取出的也是白球的概率.

【题组二 全概率公式】

1．（2021·北京高二期末）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：

①；

②；

③当时，；

④.

其中，所有正确结论的序号是__________.

【答案】①③④

【解析】当时，，①正确；

当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，

所以，②错误；

要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，

分类进行讨论，

若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；

若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：

所以，④正确；

由上式可得

，

所以，

又，满足当时，，③正确.

故答案为：①③④.

2．（2021·北京房山区·高二期末）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：

（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；

（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；

（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，

则事件：第一次摸到白球.

（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，

所以 .

 （Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.

所以.

（Ⅲ）.

所以第二次摸到红球的概率.