人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.3 离散型随机变量的数字特征一课一练

7.3  离散型随机变量的数字特征（精练）

【题组一 分布列均值与方差】

1．（2020·吉林长春市实验中学）若随机变量ξ的分布列：

那么E(5ξ+4)等于（    ）

A．15 B．11 C．2.2 D．2.3

【答案】A

【解析】由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，

∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.故选：A.

2．（2020·全国高二单元测试）设ξ的分布列为

又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故选：D.

3．（2020·全国高二课时练习）设，则随机变量的分布列是：

则当在内增大时（    ）

A．增大 B．减小

C．先增大后减小 D．先减小后增大

【答案】D

【解析】由分布列得，

则，

则当在内增大时，先减小后增大.故选：D.

4．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)

A．甲 B．乙

C．一样 D．无法比较

【答案】B

【解析】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙稳定．

5．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知X的分布列为

则下列说法正确的有（    ）

A．P(X＝0)＝ B．E(X)＝－

C．D(X)＝ D．P(X＞－1)＝

【答案】ABD

【解析】由分布列的性质可知＝1，即a＝.

∴P(X＝0)＝，故A正确；

E(X)＝，故B正确；

D(X)＝，故C错误；

P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正确．

故选：ABD.

6．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知 0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下．

当 a 增大时，（    ）

A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小 C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大

【答案】AD

【解析】0＜a＜，由随机变量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－，

∴当a 增大时，E(ξ)增大；

D(ξ)＝×＋×＋×a＝－a2＋a＋＝－＋，

∵0<a<，∴当a增大时，D(ξ)增大．故选：AD.

7．（多选）（2020·山东济宁市·高二期末）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（    ）

A．， B．，

C． D．

【答案】BC

【解析】依题意，

所以，结合，解得，所以B选项正确.

，所以C选项正确.

故选：BC

8．（2020·全国高二课时练习）已知随机变量的分布列如下表；且，则________，_____________.

【答案】    4   

【解析】因为，所以.

因为，所以，.

.

故.故答案为：，4

9．（2021·北京房山区·高二期末）设随机变量的分布列为：

则____；随机变量的数学期望____.

【答案】       

【解析】因为概率之和等于即，解得：，

所以，

故答案为：；.

10．（2020·甘肃白银市）设随机变量的分布列为，为常数，则________．

【答案】3

【解析】因为，

所以，

所以，

故．

故答案为：3

11．（2020·四川乐山市）已知随机变量的分布列如下表所示，且，则________.

【答案】3

【解析】因为，所以故答案为：3

12．（2020·安徽省六安中学高二期末（理））已知的分布列

且，，则______.

【答案】4

【解析】,

且，

，

即，

解得，

故答案为：4

13．（2021·湖南衡阳市八中高二期末）已知随机变量X的分布列如下：

若随机变量Y满足，则Y的方差___________.

【答案】9

【解析】由分布列的性质可知，，所以，

所以数学期望，

方差，

因为，所以，

故答案为：9．

【题组二 实际应用中的分布列与均值】

1．（2021·浙江金华市·高三期末）一个盒子里有2个黑球和3个白球，现从盒子里随机每次取出1个球，每个球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某种颜色的球全部取出．设取出黑球的个数，则__________，__________．

【答案】       

【解析】，

表示取球3次，3次取白球，则，

表示取球4次，3次取白球，前3次中有1次取黑球，

则，

，

，

故.

故答案为：，.

2．（2021·江苏南通市·高三期末）“双十一”是指每年的11月11日，以一些电子商务为代表，在全国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.某商家在去年的“双十一”中开展促销活动：凡购物满5888元的顾客会随机获得A，B，C三种赠品中的一件，现恰有3名顾客的购物金额满5888元.设随机变量X表示获得赠品完全相同的顾客人数，则_________________，____________.

【答案】       

【解析】

故答案为：；.

3．（2020·全国高二课时练习）一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球（所有的球除颜色外其他均相同），从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为．

（1）求袋子内黑球的个数；

（2）求的分布列与均值．

【答案】（1）有4个黑球；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）设袋子内黑球的个数为，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为，化简得，解得或（舍去），即袋子内有4个黑球．

（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4，

，

，

，

，

，

的分布列为

．

4．（2019·全国高二课时练习）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.

（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，.

.

（2）

的可能取值为.

，

，

.

故的分布列为

所以.

5．（2021·海林市）某产品有4件正品和2件次品混在了一起,现要把这2件次品找出来,为此每次随机抽取1件进行测试,测试后不放回,直至次品全部被找出为止.

(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;

(2)设所要测试的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A,则P(A)==.

(2)X的所有可能取值为2,3,4,5.

P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)=+=,

P(X=5)=+=.

X的分布列为

因此,E(X)=2×+3×+4×+5×=.

【题组三 均值方差做决策】

1．（2019·全国高二课时练习）设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：

试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？

【答案】乙厂生产的灯泡质量较好.

【解析】由期望的定义，得

E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，

E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.

两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．

由方差的定义，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，

D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.

因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．

2．（2020·全国高二课时练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？

【答案】（1）分布列见解析；（2）300．

【解析】（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知

，，．

因此的分布列为

（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑

当时，若最高气温不低于25，则；

若最高气温位于区间，则；

若最高气温低于20，则

因此

当时，若最高气温不低于20，则，

若最高气温低于20，则，

因此

所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．

3．（2020·全国高二课时练习）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：

以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．

（1）求X的分布列；

（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算

【解析】（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，

，，，

，，

，，

∴的分布列为

（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：

（元）.

选择延保二，所需费用元的分布列为：

（元）.

∵，∴该医院选择延保方案二较合算.

4．（2019·全国高二课时练习）某高校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.

(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算均值;

(2)试从两位考生正确完成题数的均值及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.

【答案】（1）； （2）可以判断甲的实验操作能力较强..

【解析】(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ,η,

则ξ取值分别为1,2,3;η取值分别为0,1,2,3.

P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

Eξ=1+2+3=2.

∵P(η=0)=,

同理P(η=1)=,P(η=2)=,P(η=3)=,

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为

Eη=0+1+2+3=2.

(2)∵P(ξ≥2)==0.8,P(η≥2)=0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2).

从做对题数的均值考察,两人水平相当;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.

因此可以判断甲的实验操作能力较强.

5．（2020·辽宁本溪市·高二月考）为倡导绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”业务.其中一款新能源分时租赁汽车每次租车收费标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/千米；②行驶时间不超过40分钟时，按0.12元/分计费；超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15千米，每天租用该款汽车上､下班各一次.由于堵车､红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间是变量(单位：分).现统计其50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分.

（1）写出王先生一次租车费用(单位：元)与用车时间(单位：分)的函数关系式；

（2）若王先生的公司每月发放1000元的车补，每月按22天计算，请估计：

①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班的平均用车时间(同一时段，用该区间的中点值做代表).

②王先生每月的车补能否足够上下班租用新能源分时租赁汽车，并说明理由.

【答案】（1）；（2）①(分)；②王先生每月的车补足够上､下班租用新能源分时租赁汽车，理由见解析.

【解析】（1）当时，，

当时，，

所以；

（2）①王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用时

(分)，

②法一：每次上下班的平均租车费用约为元，

则每月均用费为：(元)(元)，

由此估计王先生每月的车补足够上､下班租用新能源分时租赁汽车；

法二：每次上下班的平均租车费用约为

则每月均用费为：(元)元，

由此估计王先生每月的车补足够上､下班租用新能源分时租赁汽车.