高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线练习题

3.2.1双曲线及其标准方程 -A基础练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练习）已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（    ）

A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支

【答案】B

【解析】设，则由已知得即动点P到两个定点A､B的距离之差的绝对值等于常数，又，且，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线.故选：B

2.（2020·广东云浮·高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是该双曲线上的一点，且，则（    ）

A．2或18 B．2 C．18 D．4

【答案】C

【解析】在双曲线中，，，，因为，

所以点P在该双曲线左支上，则，故选：C.

3．（2020·全国高二课时练习）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为

A．             B．             C．                D．

【答案】D

【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为，选D．

4．（2020·梅河口市第五中学高二月考）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事

实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，得，

其几何意义为平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4．

平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹是双曲线，

由题得，解之得.

所以平面内动点与两定点，距离差的绝对值为4的点的轨迹方程是

．联立，解得．故选：C．

5．（多选题）（2020·无锡市第一中学期中）已知两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，设声速为340米/秒，下列说法正确的是（    ）

A．爆炸点在以为焦点的椭圆上

B．爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上

C．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米

D．若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到监测点的距离为米

【答案】BD

【解析】依题意，两监测点间距离为800米，且监测点听到爆炸声的时间比监测点迟2秒，

设爆炸点为，则，所以爆炸点在以为焦点的双曲线的一支上.所以A选项错误，B选项正确.若监测点的声强是监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，所以，即，结合可得.

所以C选项错误，D选项正确.故选：BD

6．（多选题）若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是（   ）

A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或

C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

【答案】AD

【解析】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；

若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；

若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；

若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；

若，方程即为，它表示圆，综上，选AD.

二、填空题

7. （2020·全国高二课时练）已知双曲线 的一个焦点是 ，椭圆 的焦距等于 ，则 ________．

【答案】5

【解析】因为双曲线的焦点是，所以双曲线的标准方程是 ，即 ，，即 ，所以椭圆方程是 ，因为焦距，所以 ，即，解得.

8.若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.

【答案】7或

【解析】依题意可知，当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；

当双曲线的焦点在y轴上时，，所以综上，或.

9. （2020·全国高二课时练）若双曲线-y2=1(n>1)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为______.

【答案】1

【解析】设点P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2,已知|PF1|+|PF2|=2,

解得|PF1|=,|PF2|=,|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2,

则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形,∠F1PF2=90°,∴|PF1|·|PF2|=×2=1.

10.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为　　　　　. 

【答案】=1.

【解析】设焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),则由QF1⊥QF2,得=-1,∴=-1,∴c=5.

设双曲线方程为=1(a>0,b>0),∵双曲线过点(4,-3),∴=1,又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为=1.

三、解答题

11.（2020山东泰安实验中学高二月考）如图，若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，求点到另一个焦点的距离；

（2）若是双曲线左支上的点，且，试求的面积.

【解析】（1）是双曲线的两个焦点，

则

设点到另一个焦点的距离为，

由抛物线定义可知，解得或，

即点到另一个焦点的距离为或.

（2）是双曲线左支上的点，，

则，

代入，

可得，

即，

所以为直角三角形，

所以.

12.如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.

【解析】圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;

圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.

设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,

∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.

∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.

∴动圆圆心M的轨迹方程为=1.