高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用同步测试题

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2）-B提高练

一、选择题

1．若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是

A．平行 B．垂直

C．相交但不垂直 D．无法确定

【答案】B

【解析】因为，所以，所以两平面垂直.故答案为B

2.（2020全国高二课时练）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是(　　)

A．相交 B．垂直

C．不垂直 D．成60°角

【答案】B

【解析】因为==0，所以；

因为==0，所以，又，所以．答案选B．

3．（2020河南周口高二期末（理））已知梯形如下图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为（    ）

A．              B．           C．                 D．

【答案】C

【解析】因为四边形为正方形，且平面平面，所以两两垂直，且，所以建立空间直角坐标系（如图所示），又因为，，所以，

则,，设平面的法向量为，则由得，取，平面的法向量为，则由得，取，

因为平面平面，所以，解得.故选C.

4.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在线段B1P上,则下列结论正确的是(　　)

A.当点Q为线段B1P的中点时,DQ⊥平面A1BD

B.当点Q为线段B1P的三等分点时,DQ⊥平面A1BD

C.在线段B1P的延长线上,存在一点Q,使得DQ⊥平面A1BD

D.不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD

【答案】D

【解析】以点A1为坐标原点,A1B1,A1C1,A1A所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则由已知得A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1),D,P(0,2,0),

则=(1,0,1),=(-1,2,0),.

设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z),则取z=-2,则x=2,y=1,所以平面A1BD的一个法向量为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面A1BD,且=λ=λ(-1,2,0)=(-λ,2λ,0),则.因为也是平面A1BD的一个法向量,所以n=(2,1,-2)与共线,

则成立,所以

但此关于λ的方程组无解.故不存在点Q,使得DQ⊥平面A1BD.故选D.

5．（多选题）（2020·海南省海南中学高二月考）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ）

A． B．点必在线段上

C． D．平面

【答案】BD

【解析】对于，在平面上，平面平面，到平面即为到平面的距离，即为正方体棱长，，错误；

对于，以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，，，，，，，即，，，即三点共线，必在线段上，正确；对于，，，，与不垂直，错误；对于，，，，，，

设平面的法向量，，令，则，，，，即，平面，正确.故选：.

6.（多选题） （2020山东高二期末）在长方体中，，，分别是上的动点，下列结论正确的是（    ）

A．对于任意给定的点，存在点使得

B．对于任意给定的点，存在点使得

C．当时，

D．当时，平面

【答案】ABD

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，

设，得到，.，，，当时，，正确；，，取时，，正确；，则，，此时，错误；，则，，设平面的法向量为，则，解得，故，故平面，正确.故选：.

二、填空题

7．（2020全国高二课时练）已知平面内有一个点，的一个法向量为，则下列各点中，在平面内的是________．（把正确的序号都填上）

①；②；③；④.

【答案】②

【解析】设①②③④中的点分别为、、、.对于①中的点，，，则；对于②中的点，，，则；对于③中的点，，，则；对于④中的点，，，则.因此，②中的点在平面内.

8.（2020广东湛江高二月考）如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为________．

【答案】

【解析】以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4），设M（a，0，b），则（a，﹣4，b﹣4），（﹣4，﹣4，2），

∵D1M⊥CP，∴4a+16+2b﹣8＝0，即b＝2a﹣4．取AB的中点N，连结B1N，则M点轨迹为线段B1N，过B作BQ⊥B1N，则BQ．

又BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BQ，∴S△BCM的最小值为S△QBC．

9．（2020重庆市育才中学高二期中）在棱长为1的正方体中,为的中点,,是正方体表面上相异两点,满足,．(1)若,均在平面内,则与的位置关系是______；(2)的最小值为______．

【答案】平行；    

【解析】 (1)以为空间直角坐标系的原点,以所在的直线为轴,如下图所示：

,因为若,均在平面内,

所以设,

因为,,

所以,解得,,

,所以与的位置关系是平行；

(2)由(1)可知：

当时, 有最小值,最小值为.

10．（2020上饶中学高二期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的__________．

①当时，平面；②当时，平面；

③的最大值为；④的最小值为.

【答案】①②

【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,设,.对于①，当，即，解得，，设平面的法向量为，则由，解得，由于，所以平面成立.对于②，当时，即，解得，由可知平面成立.对于③，设，即，解得，由，其分子化简得，当时，，故的最大值可以为钝角，③错误.对于④，根据③计算的数据， ,，在对称轴，即时取得最小值为，故④错误.

三、解答题

11．如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.

(1)求证:CD⊥平面PAC;

(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由.

【解析】因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.

又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,

所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,

所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).

(1)证明:=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),

可得=0,=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.

又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

(2)设侧棱PA的中点是E,则E0,0,,=-1,0,.

设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则

因为=(-1,1,0),=(0,2,-1),所以

取x=1,则y=1,z=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2).所以n·=(1,1,2)·-1,0,=0,所以n⊥.

因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD.

综上所述,当点E为PA的中点时,BE∥平面PCD.

12．（2020全国高二（理））如图1，在直角三角形中，，，.，分别是，的中点.现将三角形沿边折起，记折起后的点位于点的位置，且平面平面（如图2所示），点为边上的一点，且.

（1）若平面，求的值；

（2）是否存在，使平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【解析】（1）折叠前，直角中，，，是中点，

所以，，.折叠后，由平面，

所以，为等边三角形，，

又点为的中点，所以.

直角中，，所以，所以.

（2）由平面平面，，所以平面. 

由（1）知，当时，，记此时点的位置为.

以所在直线为轴，所在直线为轴，为坐标原点建立直角坐标系，如围所示，则，，，，.

故，，，

设平面的一个法向量，

则，所以，令，则.

设平面的一个法向量，

则，所以，

令，则.要使平面平面，有

即，化简得，，由于，该一元二次方程无实数解，所以不存在，使平面平面.