人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时训练

2.3.3 点到直线的距离公式  -B提高练

一、选择题

1．（2020全国高二课时练）点P(a，0)到直线3x+4y-6=0的距离大于3，则实数a的取值范围为　(　　)

A．a>7 B．a<-3

C．a>7或a<-3 D．a>7或-3<a<7

【答案】C

【解析】根据题意，得>3，解得a>7或a<-3.

2．（2020湖南衡阳高二月考） “C＝5”是“点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3”的(　　)

A．充要条件                               B．充分不必要条件

C．必要不充分条件                         D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题意知点到直线的距离为等价于，解得或，所以“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故选B.

3.（2020上海高二课时练）点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　)

A．3，－3 B．5，2

C．5，1 D．7，1

【答案】C

【解析】直线，即，

直线是过直线和交点的直线系方程，

由，得，可得直线经过定点，

当直线与垂直时，

点到直线的距离最大，

的最大值为，

此时轴，可得直线斜率不存在，即.故选：C.

4．（2020湖南师大附中高二月考）在平面内，与轴、轴和直线的距离都相等的点共有（    ）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【解析】设满足题意得点的坐标为（a，b），∵点到x轴、y轴的距离相等，∴a2＝b2，

∴a＝b或者a＝﹣b；由点到直线的距离公式可得：点到直线x+y﹣2＝0的距离的平方d2由题可得a2＝b2，当a＝b时，可解得a＝b＝2±；

当a＝﹣b时，可解得a＝﹣b＝±；∴符合题意得点总共4个故选：D．

5．（多选题）（2020·广东中山高二期末）下列说法中，正确的有（    ）

A．直线y＝ax﹣3a+2 （a∈R）必过定点（3，2）

B．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2

C．直线xy+1＝0 的倾斜角为30°

D．点（5，﹣3）到直线x+2＝0的距离为7

【答案】ACD

【解析】对A,化简得直线,故定点为.故A正确.对B, 在轴上的截距为.故B错误.对C,直线的斜率为,故倾斜角满足,即.故C正确.对D, 因为直线垂直于轴,故到的距离为.故D正确.故选：ACD.

6.（多选题）（2020山东潍坊三中高二月考）已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于(　　)

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】因为和到直线的距离相等，由点和点到直线的距离公式，

可得，化简得，,m

解得实数或，故选BC.

二、填空题

7．（2020·浙江丽水高二期中）已知直线l：，则点到直线l的距离等于________；直线l关于点M对称的直线方程为________．

【答案】；   

【解析】点到直线l的距离为，

设为对称直线上任一点，则其关于点M的对称点为，因为该点在直线l上，所以，化简得，所以所求的直线方程为，

8．（2020上海高二课时练）点到直线的距离等于________．

【答案】

【解析】化直线方程为一般方程得，所以，点到直线的距离为.

9．（2020瓦房店市高级中学高二月考）若点在直线上，且到直线的距离为，则点的坐标为_________

【答案】（1，2）或（2，—1）

【解析】点在直线上，设，到直线的距离为，

，解得：a=1或a=2，点的坐标为（1，2）或（2，—1）.

10．（2020合肥一六八中学高二期中）若动点，分别在直线和上移动，则的中点到原点的距离的最小值为__________．

【答案】

【解析】设的中点坐标为，因为，，所以，

又，分别在直线和上移动，

所以，两式相加得，

所以，即即为中点所在直线方程，

因此原点到直线的距离，即为的中点到原点的距离的最小值；

由点到直线距离公式，可得：距离最小值为：.

三、解答题

11．（2020山东泰安一中高二月考）已知点，求：

（1）过点与原点距离为2的直线的方程；

（2）过点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）设直线，则．

化简，得或，故直线的方程为或 

（2）过点与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线，

由，得，所以，

由直线方程的点斜式得，即，

即直线是过点与原点距离最大的直线，最大距离为.

（3）由（2）知，过点不存在到原点距离超过的直线，

所以不存在过点且到原点距离为6的直线.

12．（2020上海高二课时练）直线，相交于点，其中.

（1）求证：、分别过定点、，并求点、的坐标；

（2）求的面积；

（3）问为何值时，最大？

【解析】（1）在直线的方程中令可得，则直线过定点，

在直线的方程中令可得，则直线过定点；

（2）联立直线、的方程，解得，即点.

，

，

，所以，；

（3）且，因此，当时，取得最大值，即.