高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线复习练习题

2.6.2 双曲线的几何性质(1)  -B提高练

一、选择题

1. （2020·安徽无为中学高二期末）设双曲线的渐近线方程为，则的值为（  ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【解析】由双曲线的几何性质可得，双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线方程为，即，故，选C．

2．（2020山东泰安一中高二月考）若双曲线的焦距等于10，则实数m的值等于（    ）

A．20 B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，方程化为，双曲线的焦点在x轴上，则，依题意有，解得；当时，方程化为，双曲线的焦点在y轴上，则，依题意有，解得.综上，.故选：C

3．（2020·沙坪坝重庆八中期中）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线距离为，则双曲线实轴长（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，双曲线的一个渐近线为即，

设双曲线的的右焦点为，则，所以焦点到渐近线的距离，又离心率，所以，所以双曲线实轴长.

4.（2020大连二四中高二月考）我们把方程分别为=1和=1的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线有相同的(　　)

A.离心率 B.渐近线          C.焦点 D.顶点

【答案】B

【解析】共轭双曲线=1和=1的c=,设a>0,b>0,可得它们的焦点分别为(±c,0),(0,±c),渐近线方程均为y=±x,离心率分别为,它们的顶点分别为(±a,0),(0,±b).

5. （多选题）（2020·南京市天印高级中学高二月考）已知双曲线的右焦点为，点A坐标为，点P双曲线左支上的动点，且的周长不小于14，则双曲线C的离心率可能为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】ABC

【解析】由右焦点为，点的坐标为，，

的周长不小于14，即周长的最小值不小于14，可得的最小值不小于 9

又为双曲线的左焦点，可得， ，

当，，三点共线时，取最小值，所以，即，因为，

可得．故选：．

6．（多选题）（2020·山东泰安实验中学高二月考）把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（    ）

A．函数的图象不经过第三象限             B．函数在R上单调递增

C．函数的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1

D．函数不存在零点

【答案】ACD

【解析】由题意，方程，

当时，，表示椭圆在第一象限的部分；

当时，，表示双曲线在第四象限的部分；

当时，，表示双曲线在第二象限的部分；

当时，，此时不成立，舍去，其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A是正确的；由函数的图象可得，该函数在为单调递减函数，所以B不正确；

由图象可得，函数的图象上的点到原点的距离的最小的点在的图象上，

设点，则点满足时，，即

则，当时，，所以C正确；

令，可得，即，

则函数的零点，即为函数与的交点，

又由直线为双曲线和渐近线，

所以直线与函数没有交点，即函数不存在零点，

所以D是正确的.故选：ACD.

二、填空题

7．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为_________.

【答案】

【解析】由题意可得：，则实轴长为：，虚轴长为，

由题意有：，解得：，代入可得双曲线方程为.

8．（2020·全国高二课时练）已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.

【答案】6

【解析】结合题意，绘制图像：

根据双曲线的性质可知，得到，所以

，而，所以

，所以最小值为6.

9.(2019全国高考)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为__________.

【答案】

【解析】由已知可得a=2,b=,则c=,∴F(,0).

∵|PO|=|PF|,∴xP=.又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x上,∴yP=.

∴S△PFO=|OF|·|yP|=.

10. （2020·山东潍坊三中高二月考）设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为__________.

【答案】

【解析】由题意，设，，则，所以，因为，，

所以两式相减可得，即，

因为，所以，则.

三、解答题

11. （2020·江苏省如皋中学高二月考）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，

（1）求双曲线的方程；

（2）若点为轴上一定点，为双曲线右支上一点，求线段长的最小值.

【解析】（1）因为，则双曲线的实轴、虚轴相等

所以可设双曲线方程为

因为双曲线过点（4，），所以，即

所以双曲线方程为

（2）设，

令

①当即时，当时，，

②当即时，当时，，

12．（2020·全国高二课时练）已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判别△MF1F2的形状．

【解析】 (1)椭圆方程可化为，焦点在x轴上，且c＝，

故设双曲线方程为，

则有解得a2＝3，b2＝2.

所以双曲线的标准方程为.

(2)不妨设M点在右支上，

则有|MF1|－|MF2|＝2 ，又|MF1|＋|MF2|＝6，

故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，

因此在△MF1F2中，|MF1|边最长，而

cos ∠MF2F1＝ ，

所以∠MF2F1为钝角，故△MF1F2为钝角三角形．