河南省2022届高三上学期9月开学联考 数学（理） (含答案) 练习题

河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考

数学（理科）试卷

注意事项：

    1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

    2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

    3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

    4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）≥0}，集合B＝{0，1，2，3}，则（CRA）∩B等于

A．{2}                             B．{3}

    C．{1，2}                          D．{1，2，3}

2．已知复数z在复平面内对应的点在直线y＝－x上，且｜z｜＝，则z（1＋i）＝

    A．2                               B．－2

    C．±2                             D．2i

3．已知命题p：∈（0，），sinx＜tanx；命题q：∈（－∞，0），＜e－x，则下列命题为真命题的是

    A．p∧q                            B．p∧（）

    C．（）∧q                       D．（）∨q

4．设函数（）在[，]上单调递减，则下列叙述正确的是

    A．f（x）的最小正周期为

    B．f（x）关于直线x＝轴对称

    C．f（x）在[，]上的最小值为－

    D．f（x）关于点（，0）对称

5．2021年中国人民银行计划发行60个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如图所示的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是

    A．                            B．

    C．                             D．

6．对实数p、q和向量a，b，c，正确的是

A．p（a－b）＝pa－pb               B．a·b·c＝a·（b·c）

    C．若｜a｜2b＝｜b｜2a，则a＝b      D．若pa＝qa（p、q∈R），则p＝q

7．若数列{}满足：，则数列{}的通项公式为

    A．                      B．

    C．                      D．

8．已知定义在R上的函数f（x），其导函数为，当x＞0时－＞0，若a＝2f（1），b＝f（2），c＝，则a，b，c的大小关系是

    A．c＜b＜a      B．c＜a＜b         C．b＜a＜c         D．a＜b＜c

9．已知圆C与倾斜角为的直线相切于点N（3，－），且与曲线（x－1）2＋y2＝1相外切，则圆C的方程为

A．（x－4）2＋y2＝4，x2＋（y＋）2＝12

    B．（x＋4）2＋y2＝4，x2＋（y＋）2＝12

    C．（x＋4）2＋y2＝4，x2＋（y－）2＝36

    D．（x－4）2＋y2＝4，x2＋（y＋）2＝36

10．菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度．已知某种蔬菜失去的新鲜度h与其采摘后时间t（小时）满足的函数关系式为h＝m·at．若采摘后20小时，这种蔬菜失去的新鲜度为20％，采摘后30小时，这种蔬菜失去的新鲜度为40％．那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50％新鲜度（参考数据lg 2≈0．3，结果取整数）

    A．23小时      B．33小时          C．50小时        D．56小时

11．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f（x）的图象恰好通过k个整点，则称函数f（x）为k阶整点函数．下列函数不是一阶整点函数的是

    A．y＝2sinx＋3                      B．

    C．y＝lg（x＋2）＋1，x∈（3，9）    D．

12．已知过P（，0）的直线与抛物线y2＝3x（x＞0）交于A，B两点，M为弦AB的中点，O为坐标原点，直线OM与抛物线的另一个交点为N，则两点N、M纵坐标的比值范围是

A．（2，＋∞）   B．（3，＋∞）     C．[2，＋∞）      D．[3，＋∞）

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中的常数项为__________．

14．据《九章算术》记载：将底面钝角为的菱形的直棱柱对角面斜割一分为二得到的两个一模一样的三棱柱体，古人称之为堑堵．若堑堵的所有棱长都为3，则其外接球的表面积为__________．

15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知，则角C的值为__________．

16．已知两点F、Q分别是焦距为的双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点及左支上一动点，单位圆与y轴的交点为P，且｜PQ｜＋｜QF｜＋｜PF｜≥13，则双曲线C的离心率的最大值为__________．

三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（本小题满分12分）

为全面贯彻落实《中华人民共和国国家通用语言文字法》，实现“普通话初步普及，社

会用字基本规范”的城市语言文字工作目标，国家启动了三类城市语言文字规范化达标

创建评估工作．评估验收专家组在对某县语言文字工作进行考查评估期间，到县属新华

学校对学生进行问卷调查，被调查者之间回答问题相互独立、互不影响．工作人员在新

华学校随机抽取了甲、乙、丙三名学生，每位学生从事先准备的5个问题中随机抽取2

个问题进行问卷调查．计分规则为：答对一个问题计20分，答错一个扣10分，最终三

名学生得分相加为该校最终评估得分，总分位于[60，120）评定为合格．其中甲、乙、

丙分别能答对5个问题中的3个、4个、5个．

   （1）求甲、乙两名学生共计得分20分的概率；

   （2）设随机变量X表示新华学校最终评估得分，求X的分布列及数学期望，并求出该校为合格的概率．

18．（本小题满分12分）

    已知数列{}、{}满足：＝＋且＝，＝．

   （1）求数列{}和{}的通项公式；

   （2）数列{}满足：－＝，其中，若数列{}的前项和为，求．

19．（本小题满分12分）

    在四面体PABC中，BA、BC、BP两两垂直，等腰三角形BAP的底边长为，点G

为PA中点，BC＝，EF是△PAC的中位线．

   （1）求证：平面PAB⊥平面GBC；

   （2）线段AC上一点N满足·＝0，求直线BE与平面NPB所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知F1，F2分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆上任意一点P

到焦点距离的最小值与最大值之比为，过F1且垂直于长轴的椭圆C的弦长为3．

   （1）求椭圆C的标准方程；

   （2）过F1的直线与椭圆C相交的交点A、B与右焦点F2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值?若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

    若函数f（x）＝aex－3x2，（a∈R）．

   （1）讨论f（x）的极值点的个数；

   （2）若x∈[0，2]时，f（x）≥0恒成立，则a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1

极坐标方程为．

   （1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足｜OM｜·｜OP｜＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

   （2）已知F（－1，0），过点F且倾斜角为的直线与C2交于A、B两点，求｜FA｜＋

｜FB｜．

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

    已知a＞0，b＞0，a2＋b2＝2．

    证明：（1）（a＋b）（a3＋b3）≥4；

   （2）a2b＋b2a≤2．

欢