高中数学北师大版必修42.2向量的减法综合训练题

课时素养评价 二十二　向量应用举例

　　　　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.已知在△ABC中,=a,=b,且a·b<0,则△ABC的形状为 (　　)

A.钝角三角形　　　　　 B.直角三角形

C.锐角三角形  D.等腰直角三角形

【解析】选A.因为a·b=|a||b|cos ∠BAC<0,所以cos ∠BAC<0,所以90°<

∠BAC<180°,故△ABC是钝角三角形.

2.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10牛,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米时,力F做的功为              (　　)

A.100焦耳 B.50焦耳

C.50焦耳 D.200焦耳

【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10米,WF=F·s=

|F||s|·cos 60°=10×10×=50(焦耳).

3.过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为 (　　)

A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0

C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0

【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则⊥a,

即(2-x)×2+(3-y)×1=0,即2x+y-7=0.

4.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为　　　　. 

【解析】设点E,F的坐标分别为(0,m),(0,m+2),则=(1,m),=(-2,m+2),所以·=(m+1)2-3,当m=-1时,·取最小值-3.

答案:-3

5.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.

(1)|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况如何?

(2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围.

【解析】(1)由力的平衡原理知,G+F1+F2=0,

作向量=F1,=F2,=-G,则+=,所以四边形OACB为平行四边形,

由已知∠AOC=θ,∠BOC=90°,

所以||=,||=||=||tan θ.

即|F1|=,|F2|=|G|tan θ,θ∈.

由此可知,当θ从0°逐渐增大趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大.

(2)当|F1|≤2|G|时,有≤2|G|,

所以cos θ≥,又0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知点O是△ABC的外心,AB=2,AC=3,则·= (　　)

A.- B. C. D.-

【解析】选C.如图所示.

取弦AC的中点D,则OD⊥AC,所以·=(+)·=·+·=+0=,

同理可得·=,

·=·-·=-=×32-×22=.

2.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40 m/s,则鹰的飞行速度为              (　　)

A. m/s B. m/s

C. m/s D. m/s

【解析】选C.设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40 m/s,因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下,故|v1|==(m/s).

3.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,且=,则·= (　　)

A. B.1 C. D.3

【解析】选D.由题意,设=a,=b,则|a|=2,|b|=2,且a与b的夹角为60°,又由向量的运算法则可得=(a+b),=a+b,

所以·=·

=a2+a·b+b2

=×22+|a|·|b|cos 60°+×22

=+×2×2×+=3.

4.已知点O是△ABC内部一点,并且满足+2+

3=0,△BOC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则= (　　)

A. B. C. D.

【解析】选A.因为+2+3=0,

所以+=-2(+),

分别取AC,BC的中点D,E,则+=2,+=2.

所以=-2,即O,D,E三点共线且||=2||.如图所示,

则S△OBC=S△DBC,由于D为AC中点,

所以S△DBC=S△ABC,所以S△OBC=S△ABC,即=.

【误区警示】本题中易找不到思路从而选不出正确结果.

5.直线l经过点P(1,0),且圆x2+y2-4x-2y+1=0上到直线l距离为1的点恰好有3个,满足条件的直线l有              (　　)

A.0条 B.1条 C.2条 D.3条

【解题指南】方法一:先将圆的方程化成标准式,求出圆心与点P的距离为(圆心到直线l的最大距离),而圆心C到直线的距离刚好为1(1<)时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,由几何知识可知这样的直线有两条.

方法二:依据圆心C到直线的距离刚好为1时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,用点到直线的距离公式算出即可知.

【解析】选C.方法一:x2+y2-4x-2y+1=0可变形为(x-2)2+(y-1)2=4,

所以圆心C(2,1),CP=<2,

所以圆心C到直线l的距离刚好为1(1<)时,即可满足圆上恰好有三个点到直线l的距离为1,由几何知识可知这样的直线有两条.

方法二:圆心C到直线l的距离刚好为1时,即可满足圆上恰好有三个点到直线l的距离为1.

当直线l:x=1时,显然满足;

设直线l:y=k(x-1),所以圆心C(2,1)到直线l的距离d==1,解得k=0,所以这样的直线有两条.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.河水的流速为2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为　　　　. 

【解题指南】先找出三个速度之间的关系,再利用船的实际速度与水流的速度垂直求解.

【解析】设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1|=2,|v|=10.

因为v⊥v1,所以v·v1=0,

所以|v2|=|v-v1|====2.

答案:2 m/s

7.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=1,则·=　　　　. 

【解析】因为圆x2+y2=1的半径为1,AB=1,

所以△AOB为正三角形.

所以·=1×1·cos 60°=.

答案:

8.如图所示,一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1 000 km到达B地,因大雾无法降落,故转向C地飞行,若C地在A地的南偏西60°方向,并且A,C两地相距2 000 km,则飞机从B地到C地的路程为　　　　,方向为　　　　. 

【解析】由题意得||=1 000,

||=2 000,∠BAC=60°,

所以||2=|-|2=||2+||2-2||·||·cos 60°=2 0002+1 0002-2×1 000×

2 000×=3×106,所以||

=1 000,∠ABC=90°.

取AC的中点D,由||=2||且∠BAD=60°,知为正南方向,有∠ABD=60°,于是∠DBC=30°,所以飞机从B地到C地的位移的大小为1 000 km,方向为南偏西30°.

答案:1 000 km　南偏西30°

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图所示,▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.

(1)试用向量a,b来表示,.

(2)AM交DN于O点,求AO∶OM的值.

【解析】(1)因为AN=AB,所以==a,所以=-=a-b.因为BM=BC,

所以===b,

所以=+=a+b.

(2)因为A,O,M三点共线,所以∥.

设=λ,则=-=λ-

=λ-b=λa+b.因为D,O,N三点共线,所以∥,存在实数μ,

使=μ,λa+b=μ.

由于向量a,b不共线,

所以解得所以=,=,所以AO∶OM=3∶11.

10.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,DC的中点,BE,BF与AC分别交于点R,T,

证明:R,T为AC的三等分点.

【证明】设=a,=b,

则=a+b,=b-a.由于与共线,

因此存在实数m,使得=m(a+b).

又与共线,因此存在实数n,

使得=n=n.

由=+=+n,得m(a+b)=a+

n,整理得(m+n-1)a+b=0.

由于向量a,b不共线,

所以有解得

所以=.同理=,

所以=,所以AR=RT=TC,

所以R,T为AC的三等分点.

　若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R.

(1)若a,b的起点相同,t为何值时,a,tb,(a+b)三个向量的终点在一条直线上?

(2)若|a|=|b|且a与b的夹角为60°,t为何值时,|a-tb|最小?

【解析】(1)由题意得a-tb与a-(a+b)共线,

则设a-t b=m,m∈R,

化简得a=b.因为a与b不共线,

所以解得所以当t=时,

a,tb,(a+b)三个向量的终点在一条直线上.

(2)因为|a|=|b|,所以|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos 60°

=(1+t2-t)|a|2=|a|2,所以当t=时,|a-tb|有最小值|a|.