数学必修43.2平面向量基本定理同步练习题

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  2020-2021学年北师大版必修4  2.3.2 平面向量基本定理   作业1、有下列说法，其中错误的说法为（    ）．A．若∥，∥，则∥B．若，则是三角形的垂心C．两个非零向量，，若，则与共线且反向D．若∥，则存在唯一实数使得2、如图，在正方形中，是边的中点，设，，则（    ）A． B． C． D．3、如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，若，则的值是（   ）A. B.2 C. D.34、已知向量，，，则向量可用向量表示为（    ）A． B． C． D．5、如图，在矩形中，和分别是边和的点，满足，若，其中，则是(     )A． B． C． D．16、设，是不共线的向量，已知，，，则（    ）A．三点共线 B． 三点共线C． 三点共线 D． 三点共线7、为三角形内部一点，？？均为大于1的正实数，且满足，若？？分别表示？？的面积，则为（    ）A． B． C． D．8、如图，在中，，，分别是边，，上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（    ）A． B．C． D．9、下列说法中正确的是（    ）A．B．若且//，则C．若，则D．若//，则有且只有一个实数，使得10、如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(    )A．与 B．与C．与 D．与11、如图,平行四边形中,,分别是,中点,与交于点．若,,则(    )A． B． C． D．12、下列各组向量中，可以作为基底的是（    ）A．， B．，C．， D．， 13、已知点为坐标原点，动点满足，当时，点的轨迹方程为_______；14、如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且．有以下结论：①当x＝0时，y∈[2，3]；②当P是线段CE的中点时，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x﹣y的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____．15、设向量，分别为单位向量，且夹角为，若，，则______．16、已知向量，，若与共线，则______． 17、已知在直角坐标系中（为坐标原点），，，．（1）若，，共线，求的值；（2）当时，直线上存在点使，求点的坐标．18、平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．(1)求满足的实数m，n；(2)若，求实数k；19、设是不共线的非零向量，且.（1）证明：可以作为一组基底；（2）若，求λ，u的值.   
参考答案1、答案AD分别对所给选项进行逐一判断即可.详解：对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；对于选项B，由，得，所以，，同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.故选：AD名师点评本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.2、答案A利用平面向量的加法法则可得出关于、的表达式.详解：因为在正方形中，是的中点，设，，则.故选：A.名师点评本题考查平面向量的基底表示，考查了平面向量加法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3、答案A将,作为平面向量的一组基底，再利用平面向量基本定理可得=,再由运算即可得解.详解解：因为在中，D是BC的中点，E在边AB上，，所以==,又，所以，即,故选A.名师点评本题考察了平面向量基本定理，属中档题.4、答案B根据平面向量基本定理,设.代入坐标,由坐标运算即可求得参数.详解根据平面向量基本定理,可设代入可得即,解得所以故选:B名师点评本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.5、答案B以为基底向量表示，利用平面向量基本定理可求的值，从而得到的值.详解由矩形可得，又，，所以，因为不共线，故 ，从而，所以.故选：B．名师点评本题考查平面向量基本定理的应用，注意与向量系数有关的计算，应根据题设条件选择一组合适的基底向量，再用基底向量表示目标向量，从而得到系数满足的条件，本题为中档题.6、答案C根据条件表示出，结合选项进行判断.详解：因为，，，所以.所以 三点共线.故选：C.名师点评本题主要考查利用向量判断三点共线问题，找出向量间的平行关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.7、答案A利用已知条件，结合三角形的面积的比，转化求解即可．详解解：由，如图设，即是的重心同理可得，所以．故选：．名师点评本题考查平面向量基本定理的应用，三角形的面积的比，考查计算能力，属于中档题．8、答案C根据平面共线定理、平面向量加法的几何意义，结合三角形重心的性质进行判断即可.详解：因为，，分别是边，，上的中线，它们交于点，所以点是的重心.选项A：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项正确；选项B：因为是边上的中线，所以，又因为点是的重心，所以有，因此，所以本选项正确；选项C：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项不正确；选项D：因为是边上的中线，点是的重心，所以有，因此本选项正确.故选：C名师点评本题考查了三角形重心的性质，考查了平面向量共线定理和平面向量加法的几何意义，属于基础题.9、答案AC采用逐一验证法，根据相反向量以及共线向量的概念并结合向量的运算，简单计算，可得结果.详解：由互为相反向量，则，故A正确由且//，或，故B错由，则两边平方化简可得，所以，故C正确根据向量共线基本定理可知D错，因为要排除零向量故选：AC名师点评本题考查向量的相反向量以及向量共线基本定理，还考查了向量垂直，主要考查概念的理解以及简单计算，属基础题.10、答案D根据向量共线定理求解即可.详解：对A项，设，则，无解对B项，设，则，无解对C项，设，则，无解对D项，，所以两向量为共线向量故选：D名师点评本题主要考查了基底的概念及辨析，属于基础题.11、答案A利用平行四边形的性质，结合平面向量的加法的几何意义、平面向量共线定理、平面向量基本定理，直接求解即可.详解平行四边形中,,分别是,中点,与交于点,,,.故选：A名师点评本题考查了平面向量基本定理，考查了平面向量共线定理，考查了平面向量的加法的几何意义，属于基础题.12、答案A判断各选项中的两个向量是否共线，可得出合适的选项.详解对于A选项，，，由于，则和不共线，A选项中的两个向量可以作基底；对于B选项，，，则和共线，B选项中的两个向量不能作基底；对于C选项，，，则，C选项中的两个向量不能作基底；对于D选项，，，则，D选项中的两个向量不能作基底.故选：A.名师点评本题考查基底概念的理解，解题的关键就是所找的两个向量不共线，考查推理能力与计算能力，属于基础题.13、答案设出点，根据向量相等，可以用表示出，再由，即可求出轨迹方程．详解设，则，因为,所以，即，当，即，即．故答案为：．名师点评本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．14、答案②③④利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出②对,利用三点共线解得④对详解对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当P是线段CE的中点时，故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对对④，，令，则，当共线，则，当平移到过B时，x﹣y的最大值为﹣1，故④对故答案为②③④名师点评本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题15、答案根据平面向量的数量积运算即可.详解.故答案为：名师点评本题主要考查了平面向量的基本运算,属于基础题型.16、答案根据向量共线的方法分析系数关系即可.详解因为与共线,故,又,不共线,根据平面向量基本定理得.故.故答案为：名师点评本题主要考查了平行向量的性质与用法,直接根据平面向量基本定理判定即可.属于基础题型.17、答案（1）；（2）或．试题分析：（1）利用，结合向量共线的坐标表示列方程，解方程求得的值.（2）设点的坐标为，利用，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值，进而求得点的坐标.详解：（1）；∵、、共线，∴∴∴．（2）∵在直线上，∴设∴∵∴即：解得：或.∴或．∴点的坐标为或．名师点评本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题. 18、答案（1）；（2）.试题分析：(1)由及已知得,由此列方程组能求出实数；(2)由,可得，由此能求出的值.详解(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.名师点评本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答. 19、答案（1）证明见；（2）.试题分析：（1）假设共线，结合平面向量基本定理，即可证明；（2）根据平面向量基本定理，列出方程组，求得参数即可.详解：（1）证明：假设＝λ(λ∈R)，由，不共线，得∴λ不存在，故与不共线，可以作为一组基底，（2）解：由4－3＝λ＋u，得4－3＝λ(－2)＋u(＋3)＝(λ＋u)＋(－2λ＋3u)，所以解得名师点评本题考查平面向量基本定理的应用，属综合基础题.