高中数学5从力做的功到向量的数量积同步达标检测题

这是一份高中数学5从力做的功到向量的数量积同步达标检测题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
课时作业19　从力做的功到向量的数量积时间：45分钟　　满分：100分——基础巩固类——一、选择题(每小题5分，共40分)1．下面给出的关系式中正确的个数是(　C　)①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.A．1    B．2C．3    D．4解析：①②③正确，④⑤错误，(a·b)2＝(|a|·|b|cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.2.如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值为(　B　)A．1    B．－1C．2    D．－2解析：·＝·(－)＝·－2＝－||2＝－1.3．向量a的模为10，它与x轴正方向的夹角为150°，则它在x轴正方向上的射影为(　A　)A．－5    B．5C．－5    D．5解析：a在x轴正方向上的射影为|a|·cos150°＝－5.4．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则a与b的夹角为(　A　)A．30°    B．45°C．135°    D．150°解析：∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－，∴a·b＝.设夹角为θ，则cosθ＝＝.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°.5．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是(　C　)A．||2＝·B．||2＝·C．||2＝·D．||2＝解析：∵·＝·(＋)＝2＋·＝2，∴||2＝·成立；同理||2＝·成立；而×＝||·||＝|CD|2＝||2.故选C.6．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝(　D　)A．2  B.C.   D.解析：本题考查了向量的运算．∵＝＋＝＋ ，∴·＝(＋ )·＝·＋·，又∵AB⊥AD，∴·＝0，∴·＝ ·＝||·||·cos∠ADB＝||·cos∠ADB＝·||＝.7．在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·>0，则点P与圆C的位置关系是(　A　)A．点P在圆外部    B．点P在圆上C．点P在圆内部    D．不确定解析：在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·>0，所以∠APB为锐角，所以点P在圆外部．8．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(　B　)A．[0，]    B．[，π]C．[，]    D．[，π]解析：方程有实根，则Δ＝|a|2－4a·b≥0，即a·b≤|a|2.又因为cos〈a，b〉＝≤＝，所以〈a，b〉∈[，π]．二、填空题(每小题5分，共15分)9．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a⊥(a－2b)，则|2a＋b|的值是.解析：本题考查了向量的运算．∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝a2－2a·b＝0，∴2a·b＝a2＝|a|2，∴|2a＋b|＝＝＝＝＝.10．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝2.解析：∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2.11．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则△ABC的形状为等边三角形．解析：∵·＝||||cos〈，〉＝4×4×cos〈，〉＝8，∴cos〈，〉＝，∴∠BAC＝60°.又∵||＝||，∴△ABC是等边三角形．三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12．(12分)已知|a|＝4，|b|＝5，|a＋b|＝，求：(1)a·b；(2)(2a＋b)·(a－2b)；(3)|2a－3b|.解：(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，∴a·b＝×(|a＋b|2－|a|2－|b|2)＝×(21－42－52)＝－10.(2)(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－3a·b－2b2＝2|a|2－3a·b－2|b|2＝2×42－3×(－10)－2×52＝12.(3)|2a－3b|＝＝＝＝.13．(13分)已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们之间的夹角均为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．解：(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝120°，∴a·c＝|a|·|c|·cos120°＝－，b·c＝|b|·|c|·cos120°＝－.∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝(－)－(－)＝0，∴(a－b)⊥c.(2)由|ka＋b＋c|>1，得|ka＋b＋c|2>1，即(ka＋b＋c)2>1.∴k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2b·c＋2kc·a>1，即k2－2k>0，∴k<0或k>2.——能力提升类——14．(5分)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，则a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为∪∪(1，＋∞)．解析：由题意可得a·b＝|a||b|cos60°＝2×3×＝3.又∵(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2，a＋λb与λa＋b的夹角为锐角，∴λa2＋(λ2＋1)a·b＋λb2>0.∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，a·b＝3，∴3λ2＋13λ＋3>0.解得λ>或λ<.当λ＝1时，a＋λb与λa＋b共线，其夹角不为锐角．故λ的取值范围是∪∪(1，＋∞)．15．(15分)已知O为定点，A，B为动点，开始时满足∠AOB＝60°，OA＝3，OB＝1，后来，A沿方向，B沿方向，都以每秒4个单位长度的速度同时运动．(1)用含有t的式子表示t秒后两动点的距离f(t)；(2)几秒后两动点距离最小．解：(1)取a＝，b＝，则|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，a·b＝，设t秒后A运动到A′，B运动到B′，由题意＝＋＝3a－4ta＝(3－4t)a，＝＋＝b＋4tb＝(1＋4t)b，＝－＝(1＋4t)b－(3－4t)a，∴||2＝(1＋4t)2＋(3－4t)2－2(1＋4t)(3－4t)×，|A′B′|2＝48t2－24t＋7.∴f(t)＝.(2)f(t)＝(t≥0)，当t＝时，f(t)最小，即在秒末，两动点距离最小．