北师大版必修42.2向量的减法测试题

课时作业21　向量应用举例

时间：45分钟　　满分：100分

——基础巩固类——

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　D　)

A．平行四边形   B．矩形

C．等腰梯形   D．菱形

解析：由题意知∥，||＝||，且⊥，

∴四边形为菱形．

2．河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，对小船在静水中的速度大小为(　B　)

A．10 m/s   B．2 m/s

C．4 m/s   D．12 m/s

解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，v⊥v1.

∴v2＝v－v1，v·v1＝0，

∴|v2|＝

＝＝＝2.

3．在△ABC中，若·(2－)＝0，则△ABC一定是(　D　)

A．直角三角形   B．等腰直角三角形

C．等边三角形   D．等腰三角形

解析：·(2－)＝·(＋－)＝·(＋)＝－·(＋)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA，CB为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC一定是等腰三角形．

4．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值是(　D　)

A．－1   B．1

C．2   D．－1或2

解析：由于＝－，得m＝－1或m＝2.

5．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　C　)

A．(5,0)　   B．(－5,0)

C．   D．－

解析：|F1＋F2|＝|(1,1)＋(－3，－2)|

＝|(－2，－1)|＝.

6．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做功W为(　D　)

A．lg2   B．lg5

C．1   D．2

解析：W＝(F1＋F2)·s＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.故选D．

7.如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为(　C　)

A．300 N,300 N   B．150 N,150 N

C．300 N,300 N   D．300 N,300 N

解析：设两根绳子在物体上的作用点为O，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在▱OACB中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，||＝||cos30°＝300 N，||＝||sin30°＝300 N，||＝||＝300 N.

8．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是(　C　)

A．等腰三角形   B．直角三角形

C．等边三角形   D．A、B、C均不正确

解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，

则有a＋b＝－c，(a＋b)2＝c2，

整理得a2＋b2＋2a·b＝c2.①

同理b2＋c2＋2b·c＝a2.②

①－②，有a2－c2＋2(a·b－b·c)＝c2－a2，

由于a·b＝b·c，∴a2＝c2，即|a|＝|c|.

同理|a|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.

即||＝||＝||.∴△ABC是等边三角形．∴选C．

二、填空题(每小题5分，共15分)

9．设点A(1,1)，B(3，y)，且为直线2x－y＋1＝0的方向向量，则y＝5.

解析：＝(2，y－1)，依题意得＝2，所以y＝5.

10．一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，则船实际航行速度的大小和方向为大小为2km/h，方向与水流方向的夹角为45°.

解析：如图，|v1|＝2，|v2|＝2，且v1⊥v2，

∴|v|＝＝＝2，cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝45°，所以大小为2 km/h，方向与水流方向的夹角为45°.

11.如图，在四边形ABCD中，||＋||＋||＝4，||·||＋||·||＝4，·＝·＝0，则(＋)·＝4.

解析：

⇒.

延长AB到E，使DC＝BE，连接CE.

∵·＝·＝0.

∴⊥，⊥，∴∥.

∴||＝|||＝2，||＝||＝2，⊥，∴||＝||＝2，

∴||＝2，∠CAE＝45°，

(＋)·＝·＝||·||·cos45°＝4.故填4.

三、解答题(共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

12．(12分)两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从A(20,15)移到点B(7,0)．其中i，j是x轴、y轴正方向上的单位向量．求：

(1)F1，F2分别对该质点做的功．

(2)F1，F2的合力F对该质点做的功．

解：(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，F1＝(1,1)，F2＝(4，－5)．

∴WF1＝F1·＝－13－15＝－28(J)，

WF2＝F2·＝4×(－13)＋(－5)×(－15)＝23(J)．

(2)F＝F1＋F2＝(5，－4)，

∴WF＝F·＝5×(－13)＋(－4)×(－15)＝－5(J)．

13．(13分)已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，求的模．

解析：∵＝(＋)＝(p－3q＋5p＋2q)＝(6p－q)，∴||＝＝

＝

＝

＝.

——能力提升类——

14．(5分)设O为△ABC的外心，若＋＋＝，则M是△ABC的(　C　)

A．重心   B．内心

C．垂心   D．外心

解析：由O为△ABC的外心，可得OA＝OB＝OC．∵＋＋＝，∴＋＝－.设AB的中点为D，则OD⊥AB，＝2，∴CM⊥AB．同理可得，AM⊥BC，BM⊥AC，故M是△ABC的垂心．

15．(15分)如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，求证：三角形的三条中线AD，BE，CF交于一点．

证明：令＝a，＝b，则＝a－b，＝＋＝a－b，＝＋＝－a＋B．

令AD与BE交于点G1，并假设＝λ，＝μ，

则＝λa－b，＝－a＋μb，

∴＝＋＝(1－)a＋(μ－1)b，

∴

由此可得λ＝μ＝，∴＝.

再令AD与CF相交于点G2，同理可得＝.

∴点G1与G2重合，即AD，BE，CF相交于同一点，

∴三角形的三条中线AD，BE，CF交于一点．