2020-2021学年5简单的幂函数精练

5 简单的幂函数（一）

 [A组　学业达标]

1．下列函数为幂函数的是(　　)

①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.

A．①③⑤      B．①②⑤     C．③⑤  D．只有⑤

解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x不是幂函数；④y＝(x－1)3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．

答案：C

2．函数y＝的图像大致是(　　)

解析：因为函数y＝在(0,0)处有定义，且该函数为奇函数，排除选项A，D；又＞1，排除选项C，故选B.

答案：B

3．下列命题正确的是(　　)

A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线

B．幂函数的图像只在第一象限出现

C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域上是增函数

D．幂函数的图像不可能在第四象限

解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为两条射线，故A选项不正确；易知选项B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故选项C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图像都不在第四象限，故选项D正确．

答案：D

4．已知则(　　)

A．c＜b＜a     B．c＜a＜b     C．b＜a＜c  D．a＜c＜b

答案：A

5．当x∈(1，＋∞)时函数y＝xα的图像恒在直线y＝x的下方，则α的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(－∞，0)  C．(－∞，1)  D．(1，＋∞)

解析：由幂函数的图像知α＜1.

答案：C

6．幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减函数，则m的值为________．

解析：由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.

又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，符合题意；当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上为增函数，不符合题意．

答案：2

7．已知幂函数y＝f(x)的图像过点，则f＝________.

答案：2

8．若则实数a的取值范围是________．

答案：(3，＋∞)

9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)幂函数？

解析：(1)若f(x)为正比例函数，

则⇒m＝1.

(2)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.

[B组　能力提升]

10．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)

A．－3    B．1        C．2       D．1或2

解析：依据题意有解得n＝1.

答案：B

11．如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图像，则(　　)

A．－1＜n＜0,0＜m＜1  B．n＜－1,0＜m＜1

C．－1＜n＜0，m＞1  D．n＜－1，m＞1

解析：结合幂函数的图像和性质知，n＜－1,0＜m＜1.

答案：B

12．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，则函数f(x)的解析式是________．

解析：由幂函数性质知m2－1＜0，解得－1＜m＜1，

又m∈Z，所以m＝0，∴f(x)＝x－1.

答案：f(x)＝x－1

13．已知,则x的取值范围是________．

解析：由幂函数的图像可知：当时，x＜0或x＞1.

答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)

14．已知幂函数f(x)＝ (m∈N＋)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数还经过(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

解析：(1)∵m∈N＋，∴m2＋m＝m(m＋1)为偶数．

令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f(x)＝，

∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数．

解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝，

由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数．

∴f(2－a)＞f(a－1)等价于2－a＞a－1≥0，

解得1≤a＜.

15．已知函数f(x)＝(m∈R)，试比较f(5)与f(－π)的大小．

解析：f(x)＝＝＝m－＝m－(x－1)－2.

f(x)的图像可由y＝x－2的图像首先作关于x轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m≥0)(或向下(m＜0))平移|m|个单位长度而得(如图所示)．

显然，图像关于x＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增，

∴f(－π)＝f(2＋π)，而2＋π＞5，

∴f(－π)＝f(2＋π)＞f(5)．