北师大版必修15简单的幂函数一课一练

第二章　§5　简单的幂函数

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一、选择题

1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x3＋x，y＝x0中，幂函数的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：y＝＝x－2，y＝x0是幂函数．

答案：C

2．定义在R上的奇函数f(x)，当x<0时，f(x)＝－x2＋x，则x>0时，f(x)等于(　　)

A．x2＋x B．－x2＋x

C．－x2－x D．x2－x

解析：当x>0时，－x<0，∴f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2＋(－x)]＝－(－x2－x)＝x2＋x.

答案：A

3．函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为幂函数，则实数m的值为(　　)

A．m＝2 B．m＝－1

C．m＝－1或m＝2 D．m＝0

解析：m2－m－1＝1，m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.

答案：C

4．已知幂函数ƒ(x)的图像经过点，则ƒ(4)的值为(　　)

A．16 B．

C．2 D．

解析：设幂函数ƒ(x)＝xα，则＝2α，∴α＝－，

∴ƒ(x)＝x，∴ƒ(4)＝4＝.

答案：D

5．设a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．a<b<c B．c<a<b

C．b<c<a D．b<a<c

解析：∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，又>，

∴>，即a>b.又c＝＝，a＝＝，∴c>a，∴c>a>b.

答案：D

6．已知ƒ(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且ƒ(－1)＋g(1)＝2，ƒ(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝(　　)

A．4 B．3

C．2 D．1

解析：由ƒ(x)为奇函数，知ƒ(－1)＝－ƒ(1)，由g(x)为偶函数，知g(－1)＝g(1)．

由得

解得g(1)＝3.

答案：B

二、填空题

7．(2018·上海卷)已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.

答案：－1

8．若f(x)＝ax2＋bx＋2是定义在[1＋a，2]上的偶函数，则f(x)的值域是________．

解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋2是定义在[1＋a，2]上的偶函数，

∴定义域关于原点对称，即1＋a＋2＝0，

∴a＝－3.

又f(－x)＝f(x)，

∴ax2－bx＋2＝ax2＋bx＋2，

即－b＝b，解得b＝0，

∴f(x)＝ax2＋bx＋2＝－3x2＋2，定义域为[－2，2]，

∴－10≤f(x)≤2，

故函数的值域为[－10，2]．

答案：[－10，2]

9．已知幂函数ƒ(x)＝x，若ƒ(a＋1)<ƒ(10－2a)，则a的取值范围是________．

解析：∵ƒ(x)＝x－＝，∴ƒ(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．又ƒ(a＋1)<ƒ(10－2a)，∴即∴3<a<5.

答案：(3，5)

三、解答题

10．已知f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，且x∈[－1，0]时，f(x)＝.

(1)求f(0)，f(－1)；

(2)求函数f(x)的表达式．

解：(1)f(0)＝0，f(－1)＝－.

(2)设x∈(0，1]，则－x∈[－1，0)．

∵f(x)为偶函数，

∴f(x)＝f(－x)＝＝－.

∴函数的表达式为f(x)＝

11．幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求实数m的值．

解：∵f(x)为幂函数，

∴m2－m－1＝1，

m2－m－2＝0，

(m－2)(m＋1)＝0，

m＝2或m＝－1，

当m＝2时，y＝x－3，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．

当m＝－1时，y＝x0＝1(舍)．

∴m＝2.

12．已知函数ƒ(x)＝x＋，且ƒ(1)＝3.

(1)求m；

(2)判断ƒ(x)的奇偶性；

(3)函数ƒ(x)在(2，＋∞)上是增函数还是减函数，并证明．

解：(1)∵ƒ(1)＝3，∴1＋m＝3，∴m＝2.

(2)由(1)知，ƒ(x)＝x＋，其定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，对f(－x)＝－x＋＝－＝－ƒ(x)，∴ƒ(x)＝x＋是奇函数．

(3)ƒ(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数，证明如下：

设x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，则ƒ(x1)－ƒ(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)，∵x2>x1>2，∴x1x2>4，

∴<1，∴x1－x2<0，1－>0，∴ƒ(x1)－ƒ(x2)<0，即ƒ(x1)<ƒ(x2)，∴ƒ(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．

13．已知函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，且为奇函数．

(1)求m的值；

(2)求函数g(x)＝h(x)＋在x∈的值域．

解：(1)∵函数h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1为幂函数，

∴m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5.

又∵h(x)为奇函数，∴m＝0.

(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，

令＝t，则t∈[0，1]，

令y＝g(t)，则y＝－t2＋t＋，得值域为.