高中数学北师大版必修16指数函数、幂函数、对数函数增长的比较练习题

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

 [A组　学业达标]

1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最有可能是(　　)

A.一次函数模型  B．二次函数模型

C．指数函数模型  D．对数函数模型

解析：根据表中数量关系可以验证最可能为一次函数模型．

答案：A

2．2011年全球经济已经转暖，据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万人，0.4万人和0.76万人，则该地区这三个月的用工人数y万人关于月数x的函数关系近似的是(　　)

A．y＝0.2x  B．y＝(x2＋2x)

C．y＝  D．y＝0.2＋log16x

解析：结合点(1,0,2)，(2,0,4)，(3,0.76)可知，函数y＝较好的拟合了上述三点．

答案：C

3.向高为H的水瓶内注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是(　　)

解析：取OH的中点(如图)E作h轴的垂线，由图知当水深h达到容量一半时，体积V大于一半，易知B符合题意．

答案：B

4．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料质量M kg、火箭(除燃料外)质量m kg的关系是v＝2 000ln，则当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.

解析：由12 000＝2 000ln，得ln＝6，

∴＝e6－1.

答案：e6－1

5．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份分别生产该产品1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为________万件．

解析：由得

∴y＝－2×0.5x＋2，

∴3月份的产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)．

答案：1.75

6．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：

①前5 min温度增加的速度越来越快；

②前5 min温度增加的速度越来越慢；

③5 min以后温度保持匀速增加；

④5 min以后温度保持不变．

其中正确的说法是________．

解析：因为温度y关于时间t的图像是先凸后平，即5 min前每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5 min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．

答案：②④

7．某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1，P2如图所示，为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获最大利润？

解析：由图可知点及在y1＝axn上，

点(0,0)及(4,1)在y2＝bx＋c上，代入得：

y1＝，y2＝x，

设用x万元投资甲商品，那么投资乙商品为10－x万元，总利润为y万元．

y＝＋(10－x)＝－x＋＋

＝－2＋.

当且仅当＝，即x＝＝6.25时，ymax＝.

答：用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润．

8．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y＝ax2＋bx＋c，乙选择了模型y＝p·qx＋r，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数．结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66,82,115，你认为谁选择的模型较好？

解析：依题意，得

即解得

∴甲：y1＝x2－x＋52.

又

②－①，得p·q2－p·q1＝2，④

③－②，得p·q3－p·q2＝4，⑤

⑤÷④，得q＝2.

将q＝2代入④式，得p＝1.

将q＝2，p＝1代入①式，得r＝50.

∴乙：y2＝2x＋50.

计算当x＝4时，y1＝64，y2＝66；

当x＝5时，y1＝72，y2＝82；

当x＝6时，y1＝82，y2＝114.

可见，乙选择的模型较好．

[B组　能力提升]

9．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y之间的函数关系式为(　　)

解析：特殊值法，取x＝100代入选项，只有A正确．

答案：A

10．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　)

解析：在同一平面直角坐标系内分别作出函数y＝2x，y＝，y＝lg x的图像．

如图所示，由图可知当x∈(0,1)时，2x＞＞lg x.

答案：A

11．已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．

解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，∴k＝2ln 2，

∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.

答案：2ln 2　1 024

12．根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从2000年到2020年间要翻两番，问这期间，年平均增长率至少要达到多少，才能完成这一阶段构想？(lg 2≈0.301，100.030 1≈1.072)

解析：设年平均增长率为x.

若记2000年工农业生产总产值为1，则2001,2002,2003，…，2020年的工农业生产总值分别为(1＋x)，(1＋x)2，(1＋x)3，…，(1＋x)20.

根据题意，有(1＋x)20＝22，

两边取对数得20lg(1＋x)＝2lg 2，

即lg(1＋x)＝lg 2，

∴lg(1＋x)≈0.030 1，∴1＋x≈1.072，

∴x≈0.072＝7.2%.

故平均每年增长7.2%，才能完成第二阶段的任务．

13．某文具店出售软皮本和铅笔，软皮本每本2元，铅笔每支0.5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一本软皮本赠送一支铅笔；(2)按总价的92%付款．现要买软皮本4本，铅笔若干支(不少于4支)，若购买x支铅笔，付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并说明使用哪种优惠办法更合算？

解析：由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y＝2×4＋0.5(x－4)＝0.5x＋6(x≥4，且x∈N)．

由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y＝(0.5x＋2×4)×92%＝0.46x＋7.36(x≥4，且x∈N)．

令0.5x＋6＝0.46x＋7.36，解得x＝34，且当4≤x＜34时，0.5x＋6＜0.46x＋7.36，当x＞34时，0.5x＋6＞0.46x＋7.36，即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时，用优惠办法(1)合算；当购买铅笔多于34支时，用优惠办法(2)合算；当购买铅笔34支时，两种优惠办法支付的总钱数是相同的，即一样合算．