高中数学北师大版必修14.2换底公式测试题

对数的运算性质及换底公式

 [A组　学业达标]

1．下列式子中恒成立的是(假定各式均有意义)(　　)

A．logax·logay＝loga(x＋y)

B．(logax)n＝nlogax

C.＝loga

D.＝logax－logay

解析：∵loga(x·y)＝logax＋logay，故A不正确；

∵logaxn＝nlogax，故B不正确；

∵logax－logay＝loga，故D不正确；

∵＝logax＝loga，故C正确．

答案：C

2．计算：＋log32－log36的结果是(　　)

A．16－1  B．4

C．3  D．1

解析：原式＝＋log3＝4＋log3＝4－1＝3.

答案：C

3．若lg 2＝a，lg 3＝b，则等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：＝＝＝.

答案：A

4．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log3 6等于(　　)

A.  B.  C.  D.

解析：log36＝＝＝.

答案：B

5．某种食品因存放不当受到细菌的侵害．据观察，此食品中细菌的个数y与经过的时间t(min)满足关系y＝2t，若细菌繁殖到3个，6个，18个所经过的时间分别是t1，t2，t3，则有(　　)

A．t1·t2＝t3  B．t1＋t2＞t3

C．t1＋t2＝t3  D．t1＋t2＜t3

解析：由题意，得2t1＝3,2t2＝6,2t3＝18，则t1＝log23，t2＝log26，t3＝log218，所以t1＋t2＝log23＋log26＝log218＝t3.

答案：C

6．计算：log43·log98＝________.

解析：原式＝log43·log98＝·＝＝.

答案：

7．若log5·log36·log6x＝2，则x＝________.

解析：原式＝－log53··＝－log5x.

∴－log5x＝2，即log5x＝－2，∴x＝5－2＝.

答案：

8．如果关于lg x的方程lg2x＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0的两个根是lg α，lg β，则αβ的值是________．

解析：由题意，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝lg，

∴lg(αβ)＝lg，∴αβ＝.

答案：

9．计算：(1)3log72－log79＋2log7；

(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25；

(3)loga＋loga＋loga.

解析：(1)原式＝log78－log79＋log7＝log78－log79＋log79－log78＝0.

(2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋2lg 5

＝lg 2·lg 100＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5

＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2.

(3)原式＝＋(－n)＋＝－n.

10．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，求logabcx的值．

解析：∵logax＝2，∴logxa＝.同理，logxb＝，

logxc＝.∴logabcx＝＝

＝＝1.

[B组　能力提升]

11．若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y(x＞2y＞0)，则的值为(　　)

A．4    B．1或     C．1或4     D.

解析：∵2lg(x－2y)＝lg x＋lg y(x＞2y＞0)，

∴lg(x－2y)2＝lg xy，∴(x－2y)2＝xy，

∴x2－5xy＋4y2＝0，∴(x－y)(x－4y)＝0，

∴x＝y或x＝4y.

∵x－2y＞0，且x＞0，y＞0，∴x≠y，∴＝.

答案：D

12．已知 (a＞0)，则loga＝________.

解析：法一：∵，∴loga＝，

∴2loga＝，∴loga＝，

.

答案：3

13．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．

解析：原方程可化为log3(x2－10)＝log33x.

∴x2－10＝3x，解得x＝－2或x＝5.

检验知，方程的解为x＝5.

答案：x＝5

14．甲、乙两人解关于x的方程：log2x＋b＋clogx2＝0，甲写错了常数b，得两根，；乙写错了常数c，得两根，64.求这个方程的真正根．

解析：原方程变形为(log2x)2＋blog2x＋c＝0，①

由于甲写错了常数b，得到的根为和，

所以c＝log2·log2＝6.

由于乙写错了常数c，得到的根为和64，

所以b＝－＝－5.

故方程①为(log2x)2－5log2x＋6＝0，

解得log2x＝2或log2x＝3，

即x＝22或x＝23，

所以，这个方程的真正根为x＝4或x＝8.

15．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.

解析：法一：由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，

所以log3645＝＝

＝＝.

法二：a＝log189＝＝，

所以lg 2＝①

又18b＝5，则b＝log185＝＝，

所以lg 5＝lg 3②

log3645＝＝

＝，

将①、②两式代入上式并化简整理，得log3645＝.