北师大版2.1实际问题的函数刻画综合训练题

实际问题的函数建模

[A组　学业达标]

1．某商场把某种商品按标价的八折售出，仍可获利20%，若这种商品的进价为100元，则标价最接近的一个是(　　)

A．167元  B．160元

C．178元  D．150元

解析：设该商品的标价为x元，则由题意可知＝20%，解得x＝150.

答案：D

2．下表表示一球自一斜面滚下t s内所行的距离s的呎数(注：呎是一种英制长度单位)：

当t＝2.5时，距离s为(　　)

A．45  B．62.5

C．70  D．75

解析：由图表可知，距离s同时间t的关系是：s＝10t2，

∴当t＝2.5时，s＝10×(2.5)2＝62.5.

答案：B

3．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km为1.6元(不足1 km，按1 km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　)

解析：由题意可知，出租车的费用y是关于行驶里程x的分段函数，如当x∈(0,6]时的对应关系为：

y＝

答案：C

4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是(　　)

A．升高7.84%  B．降低7.84%

C．降低9.5%  D．不增不减

解析：设该商品原价为a，

四年后的价格为

a(1＋0.2)2·(1－0.2)2＝0.921 6a.

所以(1－0.921 6)a＝0.078 4a＝7.84%a，

即比原来降低7.84%.

答案：B

5．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．125  B．100

C．75  D．50

答案：C

6．现测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为拟合模型较好．

解析：图像法，即指出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图像(图略)，比较发现选甲更好．

答案：甲

7．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为________元．

解析：所以当x＝15时，y＝8 100×3＝8 100×＝2 400(元)．

答案：2 400

8．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________．(lg 2≈0.301 0)

解析：设至少要洗x次，则x≤，

∴x≥≈3.322，所以需4次．

答案：4

9．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

解析：(1)如图所示，延长NP交AF于点Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4.

在△EDF中，＝，

所以＝.

所以y＝－x＋10，定义域为[4,8]．

(2)设矩形BNPM的面积为S，

则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50.

又x∈[4,8]，所以当x＝8时，S取最大值48.

所以当MP＝8米时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48平方米．

10．沿海地区某村在2013年底共有人口1 480人，全年工农业生产总值为3 180万，从2014年起，计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a(a＞0)人，设从2014年起的第x年(2014年为第1年)该村人均产值为y万元．

(1)写出y与x之间的函数关系式；

(2)为使该村的人均产值10年内每年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？

解析：(1)依题意得第x年该村的工农业生产总值为(3 180＋60x)万元，

而该村第x年的人口总数为(1 480＋ax)人，

故y＝(1≤x≤10，且x∈N)．

(2)y＝＝1＋，

为使该村的人均产值年年都有增长，

则当1≤x≤10时，y＝f(x)为增函数，

则有53－＜0，

∴a＜≈27.9.

又a∈N*，

∴a的最大值是27，

即该村每年人口的净增不能超过27人．

[B组　能力提升]

11．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　)

A．300只  B．400只

C．600只  D．700只

解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，

100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，

所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.

答案：A

12．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有(　　)

A. a＝45，b＝－30  B．a＝30，b＝－45

C．a＝－30，b＝45  D．a＝－45，b＝－30

解析：设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元，则

y＝xQ－P＝x－

＝x2＋(a－5)x－1 000，

其中x∈(0，＋∞)．

由题意知当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.

∴整理得

解得a＝45，b＝－30.

答案：A

13．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.

解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，

由题意可得，

f(x)＝

令f(x)＝22.6，显然9＋5×2.15＋(x－8)×2.85＝22.6(x＞8)，解得x＝9.

答案：9

14．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)．

解析：当N＝40时，

则t＝－144lg＝－144lg

＝－144(lg 5－2lg 3)

＝－144(1－lg 2－2lg 3)＝36.72.

答案：36.72

15．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．

(1)写出函数解析式；

(2)假设气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm/3s.求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量速率R的表达式；

(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率．(精确到1)

解析：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．

(2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400，∴k＝，

故速率R的表达式为R＝·r4.

(3)∵R＝·r4，

∵当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)．

16．在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周周末，该服装已不再销售．

(1)试建立价格P(元)与周次t之间的函数关系式；

(2)若此服装每周进价Q(元)与周次t之间的关系式Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该服装第几周销售利润最大？

解析：(1)t∈[0,5]时，P＝10＋2t；

当t∈(5,10]时，P＝20；

当t∈(10,16]时，P＝40－2t.

所以P＝(t∈N*)．

(2)由于每件销售利润为：利润＝售价－进价，所以每件销售利润L＝P－Q.

所以，当t∈[0,5]时，

L＝10＋2t＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2＋6，

当t＝5时，L取得最大值9.125；

当t∈(5,10]时，L＝20＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2－2t＋16，

当t＝5时，L取得最大值9.125；

当t∈(10,16]时，L＝40－2t＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2－4t＋36，

当t＝10时，L取得最大值8.5.

因此，该服装第5周销售利润最大．