2021学年1.2利用二分法求方程的近似解练习题

利用二分法求方程的近似解

[A组　学业达标]

1．下列函数图像中，能用二分法求零点的是(　　)

解析：依据二分法求零点的原理可知C正确．

答案：C

2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为(　　)

A．(－1,0)  B．(0,1)  C．(1,2)  D．(2,3)

解析：f(－1)＝－＜0，f(0)＝－2＜0，f(1)＝－1＜0，

f(2)＝1＞0，f(3)＝5＞0，则f(1)·f(2)＜0，即初始区间可选(1,2)．

答案：C

3．对于函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2 007)＜0，f(2 008)＜0，f(2 009)＞0，则下列叙述正确的是(　　)

A．函数f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点

B．函数f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点

C．函数f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，并且仅有一个

D．函数f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点

解析：f(2 007)＜0，f(2 008)＜0时，并不一定f(x)在(2 007,2 008)内无零点，A错；又∵f(2 009)＞0，

∴f(2 008)·f(2 009)＜0，故f(x)在(2 008,2 009)内存在零点，且不一定仅有一个，故B、C错误；选D.

答案：D

4．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(　　)

A.(－1,0)  B．(0,1)  C．(1,2)  D．(2,3)

解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，

则由题设知f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，

故有一个根在区间(1,2)内．

答案：C

5．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1,2)内近似解的过程中得到f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间(　　)

A．(1,1.25)  B．(1.25,1.5)

C．(1.5,2)  D．不能确定

解析：由已知f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，

∴f(1.25)·f(1.5)＜0，

因此方程的根落在区间(1.25,1.5)内，故选B.

答案：B

6．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.

解析：由题意知f(x0)＝f＝f(1.5)，代入解析式计算得0.625.

答案：0.625

7．若函数f(x)的图像是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为________．(只填序号)

①(－∞，1]　②[1,2]　③[2,3]　④[3,4]　⑤[4,5]　⑥[5,6]　⑦[6，＋∞)

解析：根据零点存在定理，f(x)在[2,3]，[3,4]，[4,5]内都有零点．

答案：③④⑤

8．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，则可得出方程的一个近似解为________．(精确度0.1)

解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以[0.687 5，0.75]内的任意一个值都可作为方程的近似解．

答案：0.75(答案不唯一)

9．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个近似零点，其参考数据如下表：

根据此数据，求方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)．

解析：因为f(1.562 5)·f(1.556 25)＜0，

所以函数的零点在区间(1.556 25,1.562 5)内，

因为|1.562 5－1.556 25|＝0.006 25＜0.01，

所以方程3x－x－4＝0的一个近似解可取为1.562 5.

10．求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．

解析：设f(x)＝x2－2x－1，因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以可以确定区间(2,3)作为计算的初始区间．

用二分法逐步计算，列表如下：

由上表的计算可知，|2.375－2.437 5|＝0.062 5＜0.1.

因此方程x2＝2x＋1的一个近似解可取2.437 5.

[B组　能力提升]

11．已知f(x)＝－ln x在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为(　　)

A．3     B．4      C．5     D．6

解析：f(1)＝1＞0，f(2)＝－ln 2＜0.

由二分法求函数零点近似值的步骤可知：

分第一次，因为f＞0，所以x0∈，区间长度＝0.5＞0.2；

分第二次，因为f＞0，所以x0∈，区间长度＝0.25＞0.2.

分第三次，因为f＜0，所以x0∈，区间长度＝＜0.2.

故最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.

答案：A

12．为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值(精确到0.000 1)如下表所示：

则方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)可取为(　　)

A．1.5       B．1.4       C．1.3  D．1.2

解析：函数f(x)＝2x＋3x－7的零点在区间(1.375，1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5＜0.1，所以方程2x＋3x＝7的近似解(精确度0.1)可取为1.4.

答案：B

13．用二分法求函数f(x)＝ln x－2＋x在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含零点的区间是________．

解析：∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，f＝ln －＜0，∴下一个含零点的区间是.

答案：

14．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．

解析：第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.

答案：6

15．某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？

解析：如图，可首先从中点C开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；

再到BC段的中点D检查，若CD段正常，则故障在BD段；

再到BD段的中点E检查，如此，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m之间，即可迅速找到故障所在．

16．某教育基金会50年前成立时共有基金440万元，基金会将这部分基金用于投资，每年将投资收益的一半用于资助教育事业．已知今年这个基金会投入教育事业68万元，问此基金的平均年收益率为多少(精确度为0.01)?

解析：设平均年收益率为x，由题意，

得44049·＝68，

即49·x－＝0.

令f(x)＝49·x－，

∵f(0)＝－＜0，

f(1)＝49－＞0，

∴f(x)＝49·x－在区间[0,1]上有唯一的零点，利用二分法求得函数零点精确度为0.01的近似值约为x≈0.06，所以平均年收益率约为6%.