2021学年5.2平行关系的性质当堂检测题

A组

1.已知直线m∥直线n,直线m∥平面α,过m的平面β与α相交于直线a,则n与a的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交

C.异面 D.以上均有可能

解析:∵m∥α,α∩β=a,m⊂β,

∴m∥a.又m∥n,∴n∥a.

答案:A

2.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是(　　)

A.异面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

解析:∵A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,

∴A1B1∥平面ABC.

又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1,∴DE∥AB.

答案:B

3.过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,如果所得交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为(　　)

A.都平行 B.都相交于同一点

C.都相交但交于不同的点 D.都平行或交于同一点

解析:若l∥α,则l∥a,l∥b,l∥c,…,

∴a∥b∥c….

若l∩α=P,则a,b,c,…交于点P.

答案:D

4.

如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为AA',BB'的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H,则HG与AB的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交 

C.异面 D.平行或异面

解析:由长方体性质可知EF∥平面ABCD,

EF⊂平面EFGH,

平面EFGH∩平面ABCD=GH,

∴EF∥GH.

又∵EF∥AB,∴GH∥AB,故选A.

答案:A

5.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线(　　)

A.至少有一条 B.至多有一条

C.有且只有一条 D.没有

解析:设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交.设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,a⊂平面β,则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.

答案:B

6.已知n是直线,l,m是异面直线,且l∥平面α,m⊂平面α,l⊂平面β,α∩β=n,则直线m,n的位置关系是　　　　. 

解析:由于l∥平面α,l⊂平面β,α∩β=n,则l∥n.又直线l,m异面,则直线m,n相交.

答案:相交

7.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B∈a,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF=　　　　　. 

解析:由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,

∴α∩β=EF.

∵a∥平面α,a⊂平面β,∴EF∥a.

∴.

∴EF=.

答案:

8.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　　. 

解析:∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,

∴MN∥PQ.

∵MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC.

∵AP=,∴DP=DQ=.

∴PQ=a·a.

答案:a

9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试作出过AC且与直线D1B平行的截面,并说明理由.

解:

如图,连接DB交AC于点O,取D1D的中点M,连接MA,MC,MO,则截面MAC即为所求作的截面.理由如下:

∵MO为△D1DB的中位线,

∴D1B∥MO.

∵D1B⊄平面MAC,MO⊂平面MAC,

∴D1B∥平面MAC,则截面MAC为过AC且与直线D1B平行的截面.

10.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.

证明:∵四边形EFGH为平行四边形,∴EF∥GH.

∵GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,

∴EF∥平面ABD.

∵EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,

∴EF∥AB.

∵AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,

∴AB∥平面EFGH.

B组

1.

如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　)

A.MN∥PD 

B.MN∥PA 

C.MN∥AD 

D.以上均有可能

解析:∵MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,

平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.

答案:B

2.对于直线m,n和平面α,下列命题中正确的是(　　)

A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α

B.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交

C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

D.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

解析:对于A,如图①,此时n与α相交,故A不正确;对于B,如图②,此时m,n是异面直线,而n与α平行,故B不正确;对于D,如图③,m与n相交,故D不正确.

答案:C

3.

如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为(　　)

A.2+

B.3+

C.3+2

D.2+2

解析:由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,即AB∥平面DCFE,

∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.

∵E是SA的中点,∴EF=1,DE=CF=.

∴四边形DEFC的周长为3+2.

答案:C

4.

如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN=　　　　　. 

解析:因为AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平面α=MN,所以AB∥MN.

又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线,MN=5.

答案:5

5.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于　　　　　. 

解析:因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,

平面AB1C∩平面ABCD=AC,

所以EF∥AC.又点E为AD的中点,点F在CD上,

所以点F是CD的中点,所以EF=AC=.

答案:

6.若直线l不存在与平面α内无数条直线都相交的可能,则直线l与平面α的关系为　　　　　. 

解析:若直线l与平面α相交或在平面α内,则在平面α内一定存在无数条直线与直线l相交,故要使l不可能与平面α内无数条直线都相交,只有l∥α.

答案:l∥α

7.

如图,在三棱锥S-ABC中,D,E,F分别是AC,BC,SC的中点,G是AB上任意一点.求证:SG∥平面DEF.

证明:∵D,E分别是AC,BC的中点,

∴DE∥AB.

又DE⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,∴DE∥平面SAB.

同理可证EF∥平面SAB.

∵DE∩EF=E,

∴平面DEF∥平面SAB.

∵SG⊂平面SAB,

∴SG∥平面DEF.

8.

如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.

求证:(1)l∥BC.

(2)MN∥平面PAD.

证明:(1)∵BC∥AD,BC⊄平面PAD,

∴BC∥平面PAD.

又∵平面PBC∩平面PAD=l,

∴BC∥l.

(2)如图,取PD的中点E,连接AE,NE,则NE∥CD,且NE=CD,

又AM∥CD,且AM=CD,∴NE∥AM,且NE=AM.

∴四边形AMNE是平行四边形.

∴MN∥AE.

又∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,

∴MN∥平面PAD.