2020-2021学年6.1垂直关系的判定课时作业

A组

1.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是(　　)

A.相交 B.b∥α

C.b⊂α D.b∥α或b⊂α

解析:由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.

答案:D

2.直线l∥平面α,直线m∥平面α,直线l与m相交于点P,且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是(　　)

A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定

答案:B

3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交

C.在平面内 D.异面

解析:如图,由,得AC∥EF.又EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,

∴AC∥平面DEF.

答案:A

4.已知三个平面α,β,γ,一条直线l,要得到α∥β,下列条件中合适的是(　　)

A.l∥α,l∥β,且l∥γ

B.l⊂γ,且l∥α,l∥β

C.α∥γ,且β∥γ

D.l与α,β所成的角相等

解析:⇒α与β无公共点⇒α∥β.

答案:C

5.如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱是　　　　　. 

解析:∵E,F分别是BC,CD的中点,

∴EF∥BD,又BD⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,

∴BD∥平面EFG.

同理可得AC∥平面EFG.

很明显,CB,CD,AD,AB均与平面EFG相交.

答案:BD,AC

6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,则EF与平面BDD1B1的位置关系是　　　　　. 

解析:取D1B1的中点M,连接FM,MB,则FM?B1C1.

又BE?B1C1,∴FM?BE.

∴四边形FMBE是平行四边形.

∴EF∥BM.

∵BM⊂平面BDD1B1,EF⊄平面BDD1B1,

∴EF∥平面BDD1B1.

答案:平行

7.

如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:

①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.

其中正确结论的序号是　　　　　. 

解析:把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.

答案:①②③④

8.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:BC1∥平面CA1D.

证明:如图所示,连接AC1交A1C于点O,连接OD,则O是AC1的中点.

∵点D是AB的中点,

∴OD∥BC1.

又∵OD⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,

∴BC1∥平面CA1D.

9.

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC和SC的中点.求证:平面EFG∥平面BDD1B1.

证明:如图所示,连接SB,SD.

∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,

∴直线FG∥平面BDD1B1.

同理可证EG∥平面BDD1B1.

又∵直线EG⊂平面EFG,直线FG⊂平面EFG,

直线EG∩直线FG=G,

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

B组

1.

如图,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系为              (　　)

A.平行 B.可能相交 

C.相交或BD⊂平面MNP D.以上都不对

解析:显然BD⊄平面MNP,∵N,P分别为BC,DC中点,∴NP∥BD,而NP⊂平面MNP,

∴BD∥平面MNP.

答案:A

2.已知m,n是两条直线,α,β是两个平面.有以下命题:①m,n相交且都在平面α,β外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则α∥β;②若m∥α,m∥β,则α∥β;③若m∥α,n∥β,m∥n,则α∥β.其中正确命题的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:把符号语言转换为文字语言或图形语言,可知①是面面平行的判定定理;②③中平面α,β还有可能相交,所以选B.

答案:B

3.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,则下列五个命题中正确的命题有(　　)

①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;③c∥α,c∥β⇒α∥β;④c∥α,a∥c⇒a∥α;⑤a∥γ,α∥γ⇒a∥α.

A.1个 B.2个 C.3个 D.5个

解析:由公理4知①正确;②错误,a与b可能相交;③错误,α与β可能相交;④错误,可能有a⊂α;⑤错误,可能有a⊂α.

答案:A

4.考查①②两个命题,在“　　　　　”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为　　　　　. 

①⇒l∥α;②⇒l∥α.

解析:①由线面平行的判定定理知l⊄α;②易知l⊄α.

答案:l⊄α

5.

在如图的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?　　　　　.(填“是”或“否”) 

解析:因为侧面AA1B1B是平行四边形,

所以AB∥A1B1,

因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,

所以AB∥平面A1B1C1.

同理可证:BC∥平面A1B1C1.

又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,

BC⊂平面ABC,

所以平面ABC∥平面A1B1C1.

答案:是

6.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,

①BM∥平面DE;

②CN∥平面AF;

③平面BDM∥平面AFN;

④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中,正确命题的序号是　　　　　. 

解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.

图(1)

图(2)

在正方体中,连接AN,如图(2)所示.

∵AB∥MN,且AB=MN,

∴四边形ABMN是平行四边形.

∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,∴①②正确;

图(3)

如图(3)所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确.

答案:①②③④

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.证明如下:

∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.

∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.

∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.

又D1B∩QB=B,

∴平面D1BQ∥平面PAO.

8.如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为△ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3.在边AB上是否存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1?

解:

存在.取AB的中点O,连接OC.

作OD∥AA1交A1B1于点D,连接C1D,

则OD∥BB1∥CC1.

因为O是AB的中点,

所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1,

则四边形ODC1C是平行四边形,

所以OC∥C1D.

又C1D⊂平面C1B1A1,且OC⊄平面C1B1A1,

所以OC∥平面A1B1C1.

即在边AB上存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1.