北师大版5.1估计总体的分布课堂检测

六　估计总体的分布

(20分钟·35分)

1.已知样本7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12,9,13,20,那么这组数据落在[8.5,11.5)内的频率为              (　　)

A.0.5   B.0.4   C.0.3   D.0.2

【解析】选B.样本的总数为20,数据落在[8.5,11.5)内的个数为8,故所求频率为=0.4.

2.一个容量为80的样本最大值是140,最小值是51,组距为10,则可以分成

(　　)

A.10组　　　B.9组　　　C.8组　　　D.7组

【解析】选B.组数=极差/组距,本题中的极差=140-51=89,所以组数为8.9≈9.

3.观察新生婴儿的体重(单位:g),其频率分布直方图如图所示,则新生婴儿体重在[2 700,3 000)内的频率为              (　　)

A.0.001  B.0.1   C.0.03  D.0.3

【解析】选D.由图可知当新生婴儿体重在[2 700,3 000)内时,=0.001,而组距为300,所以频率为0.001×300=0.3.

【误区警示】解答此类题目时,常常把矩形的高误认为频率导致解答错误.

4.下列说法中错误的是 (　　)

①用样本的频率分布估计总体频率分布时,样本容量越大,所分的组数越多,估计越精确;

②一个容量为n的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别是40,0.125,则n的值为240;

③频率分布直方图中,小矩形的高等于该组的频率;

④将频率分布直方图中小矩形上面一边的一个端点顺次连接起来,就可以得到频率折线图.

A.①③       B.②③

C.②③④       D.①②③④

【解析】选C.大样本往往更接近于总体,所以①正确;②中n=40÷0.125=320,所以②错误;③中频率分布直方图中,小矩形的高等于该小组的,所以③错误;④中应将频率分布直方图中各小矩形上端的中点顺次连接起来得到频率折线图,所以④错误.

5.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为________. 

【解析】志愿者的总人数为=50,

所以第三组人数为50×0.36×1=18,

所以有疗效的人数为18-6=12.

答案:12

6.某高校在自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.

 (1)请先求出频率分布表中①②位置相应的数据,再作出频率分布直方图.

(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试.

【解题指南】由频率分布表的性质特点易知第2组的频数和第3组的频率,再根据分层抽样的方法计算出各组应抽取的人数.

【解析】(1)由题意可知,第2组的频数为0.350×100=35,第3组的频率为=0.300,

频率分布直方图如下:

(2)因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,第3组:×6=3(名),第4组:×6=2(名),第5组:×6=1(名),所以第3,4,5组分别抽取3名,2名,1名.

(30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.一个容量为32的样本,已知某组样本的频率为0.25,则该组样本的频数为

(　　)

A.4 　　　　B.8 　　　　C.12　　　　D.16

【解析】选B.设该组样本频数为n,则=0.25,

所以n=32×=8.

2.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他8个小长方形面积的和的,且样本容量为200,则中间一组的频数为

(　　)

A.0.2   B.0.25  C.40   D.50

【解析】选D.设中间一组的频率为x,则其他8组的频率为1-x,由题意知x=,得x=,所以中间一组的频数为×200=50.

3.某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),…,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是              (　　)

【解析】选A.组距为5,故排除C、D,由茎叶图知落在区间[0,5)与[5,10)上的频数相等,故频率、也分别相等,比较四个选项知A正确.

4.对某种电子元件使用寿命跟踪调查得到如图所示的样本频率分布直方图,由图可知一批电子元件中寿命在100～300小时的电子元件的数量与寿命在300～600小时的电子元件的数量比是              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.因为“频率之比=数量之比”,所以所求为∶=1∶4.

5.某地区对当地3 000户家庭的2018年所得年收入情况进行调查统计,年收入的频率分布直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为[20,40),[40,60),

[60,80),[80,100],则年收入不超过6万的家庭大约为 (　　)

A.900户  B.600户  C.300户  D.150户

【解析】选A.由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为(0.005+0.010)×20=0.3.

可得年收入不超过6万的家庭大约为3 000×0.3=900户.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量的度数在[50,350],频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中x的值为________. 

(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250]内的户数为________. 

【解题指南】各小矩形的面积即每小组的频率,面积和为1,矩形的高是频率比组距.

【解析】(1)50x=1-50×(0.001 2+0.002 4×2+0.003 6+0.006 0)=0.22,x=

0.004 4.

(2)100×(0.18+0.3+0.22)=70.

答案:(1)0.004 4　(2)70

7.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了500户居民去年的用电量(单位:kW·h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如图.直方图中从左到右前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3,该乡镇月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有________户. 

【解析】设频率分布直方图中从左到右前3个小矩形的面积分别为P,2P,3P.由频率分布直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为(0.087 5+0.037 5)×2=

0.25.因为频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1,所以P+2P+3P=0.75,即P=0.125.则2P=0.25,那么可知月均用电量在37～39(kW·h)的居民共有0.25×500=125(户).

答案:125

8.为了了解某校高三学生的视力情况,随机抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图如图,由于不慎将部分数据丢失,但知道后5组频数和为62,设视力在4.6到4.8之间的学生数为a,最大频率为0.32,则a的值为________. 

【解析】由题意和直方图知,第一小组和第二小组的人数为:(0.5+1.1)×0.1×100=16(人),

第三小组的人数为:100-16-62=22(人),

则第四小组的人数为:a-22(人),

所以=0.32,解得a=54.

答案:54

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.抽查100袋洗衣粉,测得它们的质量如下(单位:g):

494　498　493　505　496　492　485　483　

508　511　495　494　483　485　511　493　

505　488　501　491　493　509　509　512　

484　509　510　495　497　498　504　498　

483　510　503　497　502　511　497　500　

493　509　510　493　491　497　515　503　

515　518　510　514　509　499　493　499　

509　492　505　489　494　501　509　498　

502　500　508　491　509　509　499　495　

493　509　496　509　505　499　486　491　

492　496　499　508　485　498　496　495　

496　505　499　505　496　501　510　496　

487　511　501　496

(1)列出样本的频率分布表;

(2)画出频率分布直方图,频率折线图;

(3)估计质量不足500 g的频率.

【解析】(1)在样本数据中,最大值是518,最小值是483,它们相差35,若取组距为4,由于=8,要分9组,组数合适,于是决定取组距为4,分9组,使分点比数据多一位小数,且把第一组起点稍微减小一点,得分组如下:

[482.5,486.5),[486.5,490.5),…,[514.5,518.5).

列出频率分布表:

 (2)频率分布直方图与频率折线图如图.

 (3)设质量不足500 g的频率为b,根据频率分布表得,

≈,故b≈0.54.

因此质量不足500 g的频率约为0.54.

10.为提高全省高中教师的新课程实施能力,全面推进素质教育,山东省对全省高中教师进行了全员网络远程培训.培训结束后,某市为了解参训教师的成绩情况,从本市参加培训的5 000名教师中随机抽取了100名,对他们的成绩(单位:分)进行统计分析,并画出了成绩的频率分布直方图如下.根据频率分布直方图,完成下面问题:

(1)这100名教师培训成绩的中位数应在哪个小组?请说明理由;

(2)如果成绩在300分以上(含300分)者为优秀学员,估计该市优秀学员的人数.

【解析】(1)100个数据的中位数是第50和第51两个数据的平均数,前两个小组的频率和为0.002×100×2=0.4,其频数为0.4×100=40<50,故中位数不在前两个小组;前三个小组的频率之和为(0.002+0.002+0.004)×100=0.8,频数之和为0.8×100=80>50,故中位数应在第三小组.

(2)由频率分布直方图可知,优秀学员的频率为

(0.001+0.001)×100=0.2,所以估计该市优秀学员的人数为5 000×0.2=

1 000(人).

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