2021学年5.2估计总体的数字特征课后测评

七　估计总体的数字特征

 (20分钟·35分)

1.样本101,98,102,100,99的标准差为 (　　)

A.　   B.0   C.1   D.2

【解析】选A.样本平均数=100,方差为s2=2,

所以标准差s=.

2.一个容量为40的样本数据依次为x1,x2,…,x40,若这个样本的标准差为s=,记s*=,则s*=

(　　)

A.2 　  B.   C.   D.4

【解析】选A.设s*=x.由题意得:=,即=,所以x=2.

3.对某同学的6次数学测试成绩(满分100分)进行统计,作出的茎叶图如图所示,给出关于该同学数学成绩的以下说法:

①中位数为83;②众数为83;③平均数为85;④极差为12.

其中正确说法的序号是 (　　)

A.①②  B.②③  C.③④  D.②④

【解析】选B.将各数据按从小到大排列为:78,83,83,85,90,91,可见:中位数是=84,①错误,众数是83,②正确,

=85,③正确.

极差是91-78=13,④错误,

所以,只有②③正确.

4.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;

②甲同学的平均分比乙同学高;

③甲同学的平均分比乙同学低;

④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.

上面说法正确的是 (　　)

A.③④  B.①②④  C.②④  D.①③

【解析】选A.甲的中位数81,乙的中位数87.5,故①错,排除B,D;甲的平均分=×(76+72+80+82+86+90)=81,乙的平均分′=×(69+78+87+88+92+96)=85,故②错,③对,排除C.

5.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒精浓度在20～

80 mg/100 mL(不含80)之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时,属醉酒驾车.据《法制晚报》报道,某年2月15日至2月28日,全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人,如图是对这28 800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则属于醉酒驾车的人数约为________. 

【解析】(0.01×10+0.005×10)×28 800=4 320(人).

答案:4 320

【补偿训练】

某校从甲、乙两班各随机抽取了5名学生的某课程的学分,用茎叶图表示(如图),s1,s2分别表示甲、乙两班各5名学生学分的标准差,则s1__________s2(填“>”“<”或“=”). 

【解析】由茎叶图可计算得=14,=14,

则s1==,

s2==,所以s1<s2.

答案:<

6.为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况,用简单随机抽样,从这两校中各抽取30名高三年级学生,以他们的数学成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图.

(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05,求甲校高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格);

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为,,估计-的值.

【解析】(1)设甲校高三年级学生总人数为n.

由题意知=0.05,解得n=600.

样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5,据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1-=.

(2)设甲、乙两校样本平均数分别为′1,′2.

根据样本茎叶图可知30(′1-′2)=30′1-30′2

=(7-5)+(55+8-14)+(24-12-65)+(26-24-79)+(22-20)+92=2+49-53-77+2+92=

15.

因此′-′=0.5,故-的估计值为0.5分.

 (30分钟·60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.一组数据的平均数、方差分别是,s2,将这组数据中的每一个数都乘以2,得到一组新数据,这组新数据的平均数、方差分别是              (　　)

A.,s2  B.2,2s2  C.2,4s2  D.,s2

【解析】选C.因为本题中新数据中每一个数都是原数据的2倍,所以新样本中的每一个数据是原样本中每个数据的2倍,所以新样本的平均数是原样本平均数的2倍,方差为原样本方差的4倍.

2.(2020·天津高考)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下频率分布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为              (　　)

A.10   B.18   C.20   D.36

【解析】选B.根据直方图,直径落在区间[5.43,5.47)内的零件频率为:

(6.25+5.00)×0.02=0.225,则区间[5.43,5.47)内零件的个数为:80×

0.225=18.

3.某校对高二年级进行了一次学业水平模块测试,从该年级学生中随机抽取部分学生,将他们的数学测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高二年级共有学生600名,若成绩不少于80分的为优秀,据此估计,高二年级在这次测试中数学成绩优秀的学生人数为              (　　)

A.80   B.90   C.120   D.150

【解析】选D.根据频率分布直方图,得;成绩不少于80分的频率为(0.015+0.010)×10=0.25,

所以估计成绩优秀的学生人数为600×0.25=150.

4.(2020·太原高一检测)随着新政策的实施,海淘免税时代于2016年4月8日正式结束,新政策实施后,海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响,某网站调查了喜欢海淘的1 000名网友,其态度共有两类:第一类是会降低海淘数量,共有400人,第二类是不会降低海淘数量,共有600人,若从这1 000人中按照分层抽样的方法抽取10人后进行打分,其打分的茎叶图如图所示,图中有数据缺失,但已知“第一类”和“第二类”网民打分的平均数相等,则“第一类”网民打分的方差为              (　　)

A.159   B.179   C.189   D.209

【解题指南】根据分层抽样比,可得“第一类”抽取4人,“第二类”抽取6人.由茎叶图可知“第一类”缺失一个数据,设为m,根据平均数相等可求得m,由方差公式即可求得“第一类”的方差.

【解析】选B.抽取的网民中,“第一类”抽取4人,缺失一个数据,设缺失的数据为m,“第二类”抽取6人,则=,解得m=56,其两组数的平均数都是65,

则“第一类”网民打分的方差为:

s2=[2(56-65)2+(60-65)2+(88-65)2]=179.

5.胡萝卜中含有大量的β-胡萝卜素,进入人体消化器官后,可以转化为维生素A,现由a,b两个品种的胡萝卜所含的β-胡萝卜素含量(单位:mg)得到的茎叶图如图所示,则下列说法不正确的是(　　)

A.< B.a的方差大于b的方差

C.b品种的众数为3.31 D.a品种的中位数为3.27

【解析】选C.由茎叶图得:b品种所含β-胡萝卜素普遍高于a品种,所以<,故A正确;

a品种的数据波动比b品种的数据波动大,所以a的方差大于b的方差,故B正确;

b品种的众数为3.31与3.41,故C错误;

a品种的数据的中位数为=3.27,故D正确.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示),由图中数据可知a=________.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________. 

【解析】因为频率分布直方图中的各个小矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030.

由频率分布直方图可知在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60,其中身高在[140,150]内的学生人数为100×10×0.010=10,所以从身高在[140,150]内抽取的学生人数为×10=3.

答案:0.030　3

7.设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为________. 

【解析】样本数据x1,x2,…,x10的均值′=(x1+x2+…+x10)=1,方差s′2=

[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4,

新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的均值

=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a,

新数据x1+a,x2+a,…,x10+a的方差

s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2]

=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.

答案:1+a,4

8.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,方差是2,则xy=________. 

【解析】由平均数公式得=10,

即x+y=20,

=2,即+=8,

即x2+y2-20+200=8,

可得x2+y2=20+8-200=208,

因为202==x2+y2+2xy=208+2xy,解得xy=96.

答案:96

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.某校高一学生共有500人,为了了解学生的历史学习情况,随机抽取了50名学生,对他们一年来4次考试的历史平均成绩进行统计,得到不完整的频率分布直方图如图所示,后三组频数成等比数列.

(1)求第五、六组的频数,补全频率分布直方图;

(2)若每组数据用该组区间中点值(例如区间[70,80)的中点值是75)作为代表,试估计该校高一学生历史成绩的平均分.

(3)估计该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数.

【解析】(1)设第五、六组的频数分别为x,y.

由题设得,第四组的频数是0.024×10×50=12.

则x2=12y.又x+y=50-(0.012+0.016+0.03+0.024)×10×50,即x+y=9,所以x=6,y=3.

补全频率分布直方图如图.

(2)该校高一学生历史成绩的平均分

=(45×0.012+55×0.016+65×0.03+75×0.024+85×0.012+95×0.006)×10=67.6.

(3)该校高一学生历史成绩在70～100分范围内的人数为500×(0.024+

0.012+0.006)×10=210.

10.某校高三文科500名学生参加了3月份的高考模拟考试,学校为了了解高三文科学生的历史、地理学习情况,从500名学生中抽取100名学生的成绩进行统计分析,抽出的100名学生的地理、历史成绩如下表:

若历史成绩在[80,100]区间的占30%,

(1)求m,n的值;

(2)请根据上面抽出的100名学生地理、历史成绩,填写地理、历史成绩的频数分布表:

根据频数分布表中的数据估计历史和地理的平均成绩及方差(同一组数据用该组区间的中点值为代表),并估计哪个学科成绩更稳定.

【解析】(1)因为由历史成绩在[80,100]区间的占30%,所以=0.3,得m=13,

所以n=100-8-9-8-15-9-9-7-13=22.

(2)可得:

==70,

=

=200,==70,

==240.

从以上计算数据来看,地理学科的成绩更稳定.

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