北师大版必修36统计活动：结婚年龄的变化习题

第一章　统计

5　用样本估计总体

6　统计活动：结婚年龄的变化

[课时作业]

[A组　基础巩固]

1．下列关于频率分布直方图的说法正确的是(　　)

A．直方图的高表示取某数的频率

B．直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率

C．直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值

D．直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值

答案：D

2．一个样本的容量为72，分成5组，已知第一、五组的频数都为8，第二、四组的频率都为，则第三组的频数为(　　)

A．16　　　 B．20　　　

C．24　　　 D．36

解析：因为频率＝，所以第二、四组的频数都为72×＝16，所以第三组的频数为72－2×8－2×16＝24.

答案：C

3.为了了解某校高三学生的数学成绩，抽取了某班60名学生，将所得数据整理后，画出其频率分布直方图，如图所示，已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶5∶6∶3∶1，则该班学生数学成绩在(80，100)分之间的学生人数是(　　)

A．32人  B．27人 

C．24人  D．33人

答案：D

4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

答案：C

5．如图是样本容量为200的频率分布直方图．

根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为________，数据落在[2，10)内的概率约为________．

解析：样本数据落在[6，10)内的频数为0.08×4×200＝64.

数据落在[2，10)内的概率约为(0.02＋0.08)×4＝0.4.

答案：64　0.4

6．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________，________．

解析：由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差不变，仍是4.4.

答案：81.2　4.4

7．去年，相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：

已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为________万元．

解析：由＝，得x＝48，即为游客人数最多的那一天的营业额．

答案：48

8．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则三个数从小到大的关系为________．

解析：将数据从小到大排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则平均数a＝(10＋12＋14×2＋15×2＋16＋17×3)＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，显然a＜b＜c.

答案：a＜b＜c

9.为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)，

(1)求出各组相应的频率；

(2)估计数据落在[1.15，1.30]中的概率约为多少；

(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．

解析：(1)由频率分布直方图和频率＝组距×(频率/组距)可得下表

(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，所以数据落在[1.15，1.30]中的概率约为0.47.

(3)由分层抽样中每个个体被抽到的概率相同知：设水库中鱼的总条数为N，则＝，即N＝2 000，故水库中鱼的总条数约为2 000条．

10．从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：

甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42

乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40

问：(1)哪种玉米的苗长得高？

(2)哪种玉米的苗长得整齐？

解析：(1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝×300＝30(cm)，

乙＝×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝×310＝31(cm)．

∴甲<乙，

∴乙种玉米的苗长得高．

(2)＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝×(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝×1 042＝104.2(cm2)，

＝×[(27－31)2×2＋(16－31)2×3＋(44－31)2×2＋(40－31)2×3]

＝×1 288＝128.8(cm2)．

∴<，∴甲种玉米的苗长得整齐．

[B组　能力提升]

1.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是(　　)

解析：由茎叶图知，各组频数统计如下表：

上表对应的频率分布直方图中应有8个小长方形，故排除C，D；又区间[0，5)，[5，10)内的频数分别为1，1，则它们对应的频率分别为0.05，0.05，在频率分布直方图中，它们对应的小长方形的高分别为0.01，0.01，故排除B.从而A正确．

答案：A

2．对某种电子元件进行寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，由图可知：一批电子元件中，寿命在100～300小时的电子元件的数量与寿命在300～600小时的电子元件的数量的比大约是(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析：寿命在100～300小时的频率为

×100＝，

寿命在300～600小时的频率为1－＝，

∴所求比值为＝.

答案：C

3．甲、乙两位同学某学科连续五次的考试成绩用茎叶图表示，如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．

解析：甲的平均分为＝＝70；

乙的平均分为＝＝68，

甲的方差为s＝

＝2，同理得乙的方差为s＝7.2，故甲的平均分高于乙，甲的成绩比乙稳定．

答案：甲　甲

4．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________．(用“＞”连接)

解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社会“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200元、2 150元、2 250元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，丙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1＞s2＞s3.

答案：s1＞s2＞s3

5．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由竞赛成绩得到如下的频率分布直方图：

由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：

(1)这50名学生成绩的众数与中位数；

(2)这50名学生的平均成绩．

解析：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在频率分布直方图中高度最高的小矩形的横坐标的中间值即为所求，所以众数应为75.

由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将频率分布直方图中所有小矩形的面积平分的直线所对应的成绩即为所求．

∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10

＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3.

∴前三个小矩形面积的和为0.3.

而第四个小矩形面积为

0．03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5，

∴中位数应位于第四个小矩形内．

设频率分布直方图中，中位数与70分的差为x分，

则0.03x＝(0.5－0.3)，得x≈6.7(分)，

故中位数应为70＋6.7＝76.7(分)．

所以这50名学生成绩的众数是75分，中位数约为76.7分．

(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点值乘以每个小矩形的面积即可．

∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74(分)．

所以，这50名学生的平均成绩约为74分．

6．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：

0～0.5，4；0.5～1，8；1～1.5，15；1.5～2，22；2～2.5，25；2.5～3，14；3～3.5，6；3.5～4，4；4～4.5，2.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；

(3)当地政府制定了人均月用水量为3 t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？

解析：(1)频率分布表

(2)频率分布直方图如图：

众数：2.25，中位数：2.02平均数：2.02.

(3)人均月用水量在3 t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民人均月用水量在3 t以上，88%的居民人均月用水量在3 t以下，因此政府的解释是正确的.