2020-2021学年3模拟方法 概率的应用课后练习题

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第三章　概率3　模拟方法——概率的应用[课时作业][A组　基础巩固]1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.     D.答案：A2．一张方桌的图案如图所示，将一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则豆子落在红色区域和落在黄色或绿色区域的概率分别是(　　)A.，   B.，C.，   D.，答案：A3．在区间[－π，π]内随机取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：由题意，知点(a，b)在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需满足4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原点为圆心，为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f(x)有零点的概率为＝.答案：B4．在长为12 cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形的面积大于20 cm2的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：设AC＝x cm，则BC＝(12－x)cm，若矩形的面积大于20 cm2，则x(12－x)>20，解得2<x<10，故所求概率P＝＝.答案：C5．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有________分钟广告．解析：这是一个与时间长度有关的几何概型，这个人看不到广告的概率约为，则看到广告的概率约为，故60×＝6.答案：66．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．解析：平面区域D的面积为4，到原点距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4－π，所以所求概率为.答案：7．如图所示，在平面直角坐标系内，任作一条射线OA，则射线OA落在阴影内的概率为________．解析：以O为起点的射线OA等可能地落在坐标系中，区域角度为360°，而射线OA落在阴影内的区域角度为60°，所以射线OA落在阴影内的概率是＝.答案：8．假设你在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分(等腰三角形)的概率是________．解析：设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，等腰三角形的面积为×2R×R＝R2，∴所求概率为P＝＝.答案：9．正方形ABCD的边长为1，在正方形内(包括边界)任取一点M，求：(1)△AMB的面积大于或等于的概率；(2)求AM的长度不小于1的概率．解析：(1)如图1，取BC，AD的中点E、F，连接EF，当M在CEFD内运动时，△AMB面积大于，由几何概率定义，P＝＝.图1　　　　　　　图2(2)如图2，以AB为半径作弧，M在阴影部分时，AM长度大于等于1，由几何概型的概率公式得P＝＝1－×π×12＝1－.10．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)解析：由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为，所以红色所占角度为周角的，即α1＝＝72°.同理，蓝色占周角的，即α2＝＝120°，所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.将α3分成四等份，得α3÷4＝168°÷4＝42°.即每个绿色扇形的圆心角为42°.[B组　能力提升]1．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.     D.解析：如图，由题意，知当点P在靠近点D的CD边的分点时，EB＝AB(当点P超过点E向点D运动时，PB>AB)．设AB＝x，过点E作EF⊥AB于点F，则BF＝x，在Rt△BFE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝x2，即EF＝x，所以＝.答案：D2．若k∈R且k∈[－1，2]，则k的值使得过点A(1，1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于(　　)A.   B.C.  D．不确定解析：这是长度型几何概型问题，套用几何概型的计算公式计算，依题意，点A应该在圆的外部，所以应有即又因为k∈[－1，2]，所以－1<k<0.因为k的取值区间的长度为3，而使得过A可以作两条直线与圆相切的k的取值区间的长度为1，由几何概型的计算公式得所求概率P＝.答案：B3．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝××13＝，则构成事件“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－＝，由几何概型的概率公式，得所求概率P＝＝.答案：4．已知|p|≤3，|q|≤3，点(p，q)均匀分布．(1)点M(x，y)的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，求点M(x，y)落在上述区域的概率；(2)求方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率．解析：(1)点M(x，y)的横、纵坐标由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，共有36个不同的坐标，而落在已知区域的点M有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共9个．所以点M(x，y)落在已知区域的概率P1＝＝.(2)因为方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根，所以Δ＝(2p)2－4(－q2＋1)≥0，解得p2＋q2≥1，又|p|≤3，|q|≤3，故由图易知满足条件的点(p，q)所在区域的面积为36－π，所以方程x2＋2px－q2＋1＝0有两个实数根的概率P2＝.