北师大版必修41.2向量的概念课后练习题

2020-2021学年北师大版必修四   2.1.2 向量的概念      作业

一、选择题

1、对于下列命题：①若，则；②在，若，则为锐角三角形；③零向量与任何向量都共线④若和都是单位向量，则或．其中正确命题有(    )

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2、
已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　）。

A． 一个点    B． 一条直线    C． 一个圆    D． 不能确定

3、对于任意向量,下列命题中正确的是(  )

A.若满足且与同向,则      B.若,则或

C.                              D.

4、下列命题正确的是（      ）

A．向量与是平行向量，则直线AB与CD平行

B．四边形是平行四边形的充要条件是.

C．非零向量与平行，则与方向相同或相反

D．单位向量都相等

5、
给出下列结论：①数轴是向量；②角有正角和负角之分，所以角是向量.其中     (  ）。

A． ①正确，②错误    B． ①错误，②正确

C． ①②都正确    D． ①②都错误

6、下列命题正确的是（    ）

A．单位向量都相等 B．若与共线，与共线，则与共线

C．若与是相反向量，则||=|| D．与（）的方向相反

7、
已知下列命题：（    ）。

①向量的长度与向量的长度相等；

②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

④向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上.

其中错误说法的个数为()

A． 1    B． 2    C． 3    D．

4

8、设分别是与同向的单位向量，则下列结论中正确的是(   )

A． B．

C． D．

9、下列命题正确的是（    ）

A．若都是单位向量，则

B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同

C．向量与是两个平行向量

D．若，则四点是平行四边形的四个顶点

10、与向量平行的单位向量是（    ）

A． B．

C．或 D．或

11、在中，点D，E分别为边，的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（    ）

A．一组 B．二组 C．三组 D．四组

12、下列命题中正确的是(     )

A. 若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合    B. 模相等的两个平行向量是相等向量

C. 若和都是单位向量,则    D. 两个相等向量的模相等

二、填空题

13、给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．

其中不正确命题的序号是________．

14、设向量，，且，则等于         

15、下列命题中正确的有________.(填序号)

①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若，则；

③若，则四点构成平行四边形；

④在？ABCD中，一定有；

⑤若，，则；

⑥若，，则；

16、平面向量的单位向量坐标为___________.

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

(1)写出与向量相等的向量；

(2)写出与向量共线的向量．

18、（本小题满分12分）判断下列命题是否正确，请说明理由：

（1）若向量与同向，且，则；

（2）若向，则与的长度相等且方向相同或相反；

（3）对于任意向量，若与的方向相同，则=；

（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；

（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．

19、（本小题满分12分）已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k为何实数时， ka－b与a+3b平行, 平行时它们是同向还是反向？

参考答案

1、答案C

解析根据向量共线的定义及向量的数量积的定义一一判断可得；

详解：解：①，，又，所以，所以，故①正确；

②，

，即，故为钝角三角形，故②错误；

③零向量与任何向量都共线（平行），故③正确；

④单位向量指模为的向量，再具体的情境中，单位向量的方向是确定的，故④错误.故选C.

点睛

本题考查共线向量、单位向量、零向量、向量的模、数量积等概念，属基本概念的考查．

2、答案C

解析因为||=2，

所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上，

故A点构成的图形是一个圆．选C．
 

3、答案D

解析

4、答案C

解析解题时紧扣向量的定义----既有大小又有方向的量,研究两个向量平行或共线时,从方向的角度进行研究,平行四边形的判定经常应用进行判断.

详解

对于,当向量与是平行向量时,可能有直线AB与CD重合,故不正确;

对于,当四边形是平行四边形时,有,此时;当时,与平行且相等,所以四边形为平行四边形,故不正确;

对于,非零向量与平行，则与方向相同或相反是正确的;

对于,单位向量只是长度相等,方向不一定同向,所以不正确.

故选:C.

点睛

本题考查了对向量的概念的理解,属于基础题.

5、答案D

解析对于①，数轴具有方向，但无长度，故不是向量．所以①错误．

对于②，由于角无方向，只有大小，故不是向量．所以②错误．

综上①②都错误．选D．
 

6、答案C

解析单位向量可能方向不同，所以A错误；若，则B错误；相反向量模长相等方向相反，所以C正确；若，与（）的方向相同，所以D错误.

详解

向量相等必须模长相等且方向相同，所以A选项说法错误；

若，任意向量与，都有与共线，与共线，但与不一定共线，所以B错误；

若与是相反向量，则模长相等，方向相反，则||=||，所以C正确；

若，与（）的方向相同，所以D错误.

点睛

此题考查向量的概念辨析，关键在于准确掌握向量的相关概念.

7、答案B

解析①向量的长度与向量的长度相等，正确；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确；③终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，错误；④共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，错误，错误说法的个数为 ，故选B.

8、答案C

解析考点：单位向量．

解：因为是单位向量，||=1，||=1.∴||+||=2

故选C

9、答案C

解析利用单位向量的定义可判断A；利用向量相等的定义可判断B；利用平行向量的定义可判断C；利用向量相等的定义可判断D.

详解：对于A，单位长度为的向量为单位向量，

都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；

对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；

对于C，向量与为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；

对于D，，若四点在同一条直线上，

不能构成平行四边形，故D不正确；

故选：C

点睛

本题考查了向量的基本概念，需理解单位向量、相等向量、共线向量的概念，属于基础题.

10、答案C

解析利用单位向量模长等于1求解即可.

详解

与向量平行的单位向量是.

故选：C

点睛

本题主要考查了单位向量的运算,属于基础题型.

11、答案A

解析结合三角形中位线的性质、相等向量的定义直接求解即可.

详解：解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即.

故选：A

点睛

本题考查了三角形中位线性质，考查了相等向量，属于基础题.

12、答案D

解析考查所给的四个选项：

向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；

向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；

若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；

两个相等向量的模一定相等，D说法正确.

本题选择D选项.

13、答案②④⑤

解析①中，∵向量与为相反向量，

∴它们的长度相等，此命题正确．

②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．

③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．

④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．

⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．

14、答案

解析

15、答案④⑤

解析根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案.

详解：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；

,由于与方向不确定，所以与不一定相等，故②不正确；

，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；

在？ABCD中，,所以一定有，所以④正确；⑤显然正确；

零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故⑥不正确．

故答案为：④⑤.

点睛

本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.

16、答案

解析结合所给的向量将其单位化即可确定平面向量的单位向量.

详解

由所给的向量可知其单位向量为：，即.

故答案为：．

点睛

本题主要考查向量的单位化及其计算，属于基础题.

17、答案(1)∵四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，

∴AB綊ED，AB綊DC.

从而＝，＝，∴＝.

故与向量相等的向量是，.

(2)由共线向量的条件知，与共线的向量有，，，，，，.

解析

18、答案（1）不正确，理由见解析（2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析（4）不正确，理由见解析（5）不正确，理由见解析

详解：（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．

（3）正确．因为|，且与同向，由两向量相等的条件，可得=

（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．

（5）不正确．因为向量与若有一个是零向量，则其方向不定．

点睛

本题主要考查平面向量的相关概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

解析

19、答案 因为 ka－b ，a+3b．

由已知得，   解得 ，

此时，ka－b ，a+3b，二者方向相反．

解析