高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第四节基本不等式课时规范练理含解析新人教版

第四节 基本不等式

[A组　基础对点练]

1．已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy(　　)

A．有最大值为1     B．有最小值为1

C．有最大值为     D．有最小值为

解析：因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，

所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时等号成立，

所以xy有最大值，且最大值为.

答案：C

2．(2020·吉林长春调研)“a＞0，b＞0”是“ab＜”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

解析：当a＞0，b＞0时，≥，即ab≤，当a＝b时，ab＜不成立，故“a＞0，b＞0”不是“ab＜”的充分条件．当ab＜时，a，b可以异号，故a＞0，b＞0不一定成立，故“a＞0，b＞0”不是“ab＜”的必要条件．故“a＞0，b＞0”是“ab＜”的既不充分也不必要条件．

答案：D

3．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　)

A．3    B．4

C．5     D．6

解析：由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.

答案：B

4．下列不等式一定成立的是(　　)

A．lg >lg x(x>0)

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D．>1(x∈R)

解析：对选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，∴lg ≥lg x不恒成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1，故不成立．

答案：C

5．(2021·吉林长春质量检测)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)

A．8     B．9

C．12     D．16

解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”．

答案：B

6．若f(x)＝＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为(　　)

A．2      B．2 ＋1

C．2 －2     D．2 ＋2

解析：因为f(x)＝＋2x＝＋2(x－1)＋2，又x>1，即x－1>0，

所以f(x)≥2 ＋2＝2＋2，当且仅当＝2(x－1)，即x＝1＋时等号成立，所以f(x)的最小值为2＋2.

答案：D

7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为(　　)

A．     B．

C．     D．2

解析：30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，

即30≥15xy，所以xy≤2，

当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立，故xy的最大值为2.

答案：D

8．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为(　　)

A．3     B．4

C．     D．

解析：因为x＋2y＋2xy＝8，

所以y＝>0，即0<x<8，

所以x＋2y＝x＋2·＝x＋1＋－2≥2 －2＝4，

当且仅当x＋1＝，即x＝2，y＝1时等号成立，

故x＋2y的最小值是4.

答案：B

9．已知x＞0，y＞0，2x＋y＝1，则＋的最小值为________．

解析：目标式＋中出现了，由此可联想到将后面的变为与有关的式子，于是利用常值代换处理即可．

因为2x＋y＝1，所以2＝4x＋2y，所以＋＝＋＝＋＋2≥2 ＋2＝6，

当且仅当即x＝，y＝时取等号，

所以＋的最小值为6.

答案：6

10．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为__________．

解析：由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2 ＝8，

故2a＋b的最小值为8.

答案：8

11．已知下列结论：

①的最小值是2；

②若a＞0，b＞0，且a≠b，则的最小值是2；

③若x∈，则sin x＋的最小值是4；

④x2＋的最小值是1.

其中正确的结论是________．(填序号)

解析：因为＝|x|＋≥2，当且仅当x＝±1时，等号成立，所以①正确；因为≥＝2，又a≠b，等号不成立，所以②不正确；当x∈时，sin x＞0，sin x＋≥2＝4.因为sin x≠2，所以上式等号不成立，所以③不正确；x2＋＝x2＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x2＋1＝，即x2＝0时，等号成立，所以④正确．

答案：①④

12．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝＋≥2 ＝20.

当且仅当＝(x＞0)，即x＝80时“＝”成立．

答案：80

[B组　素养提升练]

1．(2020·广东惠州调研)在△ABC中，点D是AC上一点，且＝4，P为BD上一点，向量＝λ＋μ(λ＞0，μ＞0)，则＋的最小值为(　　)

A．16     B．8

C．4     D．2

解析：由题意可知，＝λ＋4μ，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ＞0，μ＞0，所以＋＝·(λ＋4μ)＝8＋＋≥8＋2 ＝16，当且仅当λ＝，μ＝时，等号成立，故＋的最小值为16.

答案：A

2．已知实数a＞0，b＞0，＋＝1，则a＋2b的最小值是(　　)

A．3     B．2

C．3     D．2

解析：∵a＞0，b＞0，∴a＋1＞1，b＋1＞1，

又∵＋＝1，∴a＋2b＝[(a＋1)＋2(b＋1)]－3＝[(a＋1)＋2(b＋1)]·－3＝1＋＋＋2－3≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b＋－1时取得“＝”．

答案：B

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c cos B＝2a＋b.若△ABC的面积为c，则ab的最小值为________．

解析：由正弦定理及2c cos B＝2a＋b，得

2sin C cos B＝2sin A＋sin B，因为A＋B＋C＝π，

所以sin A＝sin (B＋C)，则2sin C·cos B＝2sin (B＋C)＋sin B，即2sin B·cos C＋sin B＝0，又0＜B＜π，所以sin B＞0，则cos C＝－.因为0＜C＜π，所以C＝，所以sin C＝，则△ABC的面积为ab sin C＝ab＝c，即c＝3ab，结合c2＝a2＋b2－2ab·cos C，可得a2＋b2＋ab＝9a2b2，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，故ab的最小值是.

答案：