高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第五节推理与证明课时规范练理含解析新人教版

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第五节 推理与证明

[A组　基础对点练]
1．下列结论正确的个数为(　　)
①归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确；
②由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理；
③“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的；
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①不正确．②③正确．
答案：C
2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．
∴g(－x)＝－g(x).
答案：D
3．在等比数列{an}中，若am＝1，则有a1a2·…·an＝a1a2·…·a2m－1－n(n＜2m－1，且n∈N*)成立，在等差数列{bn}中，若bm＝0，类比上述性质，则有(　　)
A．b1b2·…·bn＝b1b2·…·b2m－1－n(n＜2m－1，且n∈N*)
B．b1b2·…·bn＝b1b2·…·b2m－n＋1(n＜2m＋1，且n∈N*)
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b2m－1－n(n＜2m－1，且n∈N*)
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b2m－n＋1(n＜2m＋1，且n∈N*)
解析：等比数列的“比”对应等差数列的“差”，类比上述性质，等比数列的“积”对应等差数列的“和”，由此排除选项AB，对于选项CD，注意项数的变化知选项C正确．
答案：C
4．(2020·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为(　　)
A．(3，9) B．(4，8)
C．(3，10) D．(4，9)
解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9).
答案：D
5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b ＝c＋d ⇒a＝c，b＝d”；
③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0⇒z1>z2”．
其中类比得到的结论正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由复数的减法运算可知①正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所以②正确；因为复数不能比较大小，所以③不正确．
答案：C
6．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为(　　)
A． B．q2
C． D．
解析：由题设得，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq，所以＝b1q，所以等比数列{}的公比为 .
答案：C
7．如图所示，在数阵中，用A(m，n)表示第m行的第n个数，则依此规律A(15，2)表示为(　　)

A． B．
C． D．
解析：由已知中归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为，其他数字等于上一行该数字“肩膀”上两个数字的和，
故A(15，2)
＝＋＋＋＋…＋
＝＋2×
＝.
答案：C
8．在△ABC中，A＋B＋C＝π；
在四边形ABCD中，A＋B＋C＋D＝2π；
在五边形ABCDE中，A＋B＋C＋D＋E＝3π；
…，
在n边形A1A2…An(n≥3)中，A1＋A2＋…＋An＝(　　)
A．nπ B．(n－1)π
C．(n－2)π D．(n－3)π
解析：由归纳推理可得A1＋A2＋…＋An＝(n－2)π.
答案：C
9．观察下列等式：
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…，
据此规律，第n个等式可为________________．
解析：等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个等式有4项，第3个等式有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个等式有1项，第2个等式有2项，第3个等式有3项，故第n个等式有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.
答案：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
10．观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．

解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.
答案：183
11．半径为r的圆的面积S＝πr2，周长C＝2πr.若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，类比圆的上述性质，可得球的相关性质为________________(语言叙述).
解析：半径为R的球体积V＝πR3，表面积S＝4πR2，显然′＝4πR2，即球的体积函数的导数等于球的表面积函数．
答案：球的体积函数的导数等于球的表面积函数
12．我国的刺绣有着悠久的历史，刺绣最简单的四个图案如图①②③④所示，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．则f(n)的表达式为____________．

解析：我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.
答案：2n2－2n＋1
[B组　素养提升练]
1．(2021·河南新乡模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为(　　)

A．2 011 B．2 012
C．2 013 D．2 014
解析：根据题图中所示的规则排列，设最上层的一个数为a，则第二层的三个数为a＋7，a＋8，a＋9，第三层的五个数为a＋14，a＋15，a＋16，a＋17，a＋18，
这九个数之和为a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.
由9a＋104＝2 012，得a＝212，是自然数．
答案：B
2．如图所示，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n个图形由正n＋2边形扩展而来，其中n∈N*，则第n个图形的顶点个数是(　　)

A．(2n＋1)(2n＋2)
B．3(2n＋2)
C．2n(5n＋1)
D．(n＋2)(n＋3)
解析：由已知中的图形可以得到：
当n＝1时，图形的顶点个数为12＝3×4，
当n＝2时，图形的顶点个数为20＝4×5，
当n＝3时，图形的顶点个数为30＝5×6，
当n＝4时，图形的顶点个数为42＝6×7，
…，
由此可以推断：第n个图形的顶点个数为(n＋2)(n＋3).
答案：D
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0，则{an}的通项公式是______________．
解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，
a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.
由此猜想出数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n.
答案：An＝(n－1)λn＋2n
4．(2020·安徽合肥模拟)已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________成立．
解析：运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sin x(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝sin x(x∈(0，π))图象上的点 的纵坐标，即＜sin 成立．
答案：＜sin

[A组　基础对点练]
1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．
答案：A
2．在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：由sin A sin C＜cos A cos C，
得cos A cos C－sin Asin C＞0，
即cos (A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，
从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．
答案：C
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减．若x1＋x2＞0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，
由x1＋x2＞0，可知x1＞－x2，f(x1)＜f(－x2)＝－f(x2)，
则f(x1)＋f(x2)＜0.
答案：A
4．分析法又称执果索因法，已知x＞0，用分析法证明＜1＋时，索的因是(　　)
A．x2＞2 B．x2＞4
C．x2＞0 D．x2＞1
解析：因为x＞0，
所以要证＜1＋，
只需证()2＜，
即证0＜，
即证x2＞0.
因为x＞0，所以x2＞0成立，故原不等式成立．
答案：C
5．已知a＞b＞0，证明－＜可选择的方法，以下最合理的是(　　)
A.综合法 B．分析法
C．类比法 D．归纳法
解析：首先，排除选项CD.然后，比较综合法、分析法．
我们选择分析法，欲证－＜，只需证＜＋，即证a＜b＋(a－b)＋2，只需证0＜2.
答案：B
6．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是(　　)
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．
答案：D
7．(2020·山东青岛模拟)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，
所以＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案：D
8．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是____________________．
答案：a，b都不能被5整除
9．已知a＞b＞0，则①＜；②ac2＞bc2；③a2＞b2；④＞.其中正确的是________．(填序号)
解析：对于①，因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0，
a·＞b·，即＞，故①正确；
当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知③④正确．
答案：①③④
10．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为__________________．
解析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b.
答案：x＝a或x＝b
11．如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是________．
解析：因为a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋).
所以当a≥0，b≥0且a≠b时，
(－)2(＋)＞0.
所以a＋b＞a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
[B组　素养提升练]
1．(2021·山西太原模拟)用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________________．
解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．
解析：(补集法)
令
解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的取值范围为.
答案：
3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解析：(1)由已知得
解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)猜测an＝2n＋1.
由Sn＝2nan＋1－3n2－4n得
Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)(n≥2)，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，所以两式相减，
整理得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1，
an＋1＝an＋，又a2＝5，a1＝3，满足式子，
建立了an与an＋1的递推关系(n∈N*)；
因为当n＝1时，a1＝3，
假设n＝k时成立，即ak＝2k＋1成立，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝ak＋＝(2k＋1)＋
＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，
综上，对于n∈N*，有an＝2n＋1，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.
4．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3，也就是＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
又△ABC三个内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，
故c2＋a2＝ac＋b2成立，
于是原等式成立．
5．(2020·湖南常德模拟)设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解析：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
∴Sn＝，∴Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.
∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.
∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0.
∴q＝1这与q≠1矛盾
故假设不成立，原命题成立．