高考数学一轮复习第七章立体几何第四节空间中的垂直关系课时规范练理含解析新人教版

第四节 空间中的垂直关系

[A组　基础对点练]

1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是(　　)

A．a⊥c，b⊥c     B．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥α     D．a⊥α，b⊥α

解析：对于选项C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；选项AB中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；选项D中一定推出a∥b.

答案：C

2．已知平面α，β，直线l.若α⊥β，α∩β＝l，则(　　)

A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

解析：垂直于平面β的平面与平面α重合、平行或相交，故A不正确；垂直于直线l的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故选项B不正确；垂直于平面β的平面可能垂直于直线l，故选项C不正确；由面面垂直的判定定理知，垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直，故选项D正确．

答案：D

3．(2021·江西南昌模拟)如图所示，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　)

A．直线AB上     B．直线BC上

C．直线AC上     D．△ABC内部

解析：由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC⊂平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上．

答案：A

4．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，则下列命题正确的是(　　)

A．若m∥n，n⊂α，则m∥α

B．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α

C．若l⊥n，m⊥n，则l∥m

D．若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则α⊥β

解析：若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故选项A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故选项B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故选项C不正确；若l⊥α，m⊥β且l⊥m，则由直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故选项D正确．

答案：D

5．(2020·河北保定模拟)如图所示，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

解析：因BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，选项A结论成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以选项BC结论均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故选项D结论不成立．

答案：D

6．已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是(　　)

A．PA⊥BC

B．BC⊥平面PAC

C．AC⊥PB

D．PC⊥BC

解析：AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.

答案：C

7．(2020·河北衡水模拟)已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，在下列命题中：

①若m⊥n，l⊥n，则m∥l；

②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β；

③若m∥l，m⊥α，l⊂β，则α⊥β；

④若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β.

其中正确命题的序号为(　　)

A．①③     B．③④

C．②④     D．①③④

解析：如正方体同一个顶点的三条棱，满足①的条件，但三条棱都相交，故①错；如图所示，α∥β，故②错；因为m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故③正确；由面面垂直的性质知，④正确．故正确的命题为③④.

答案：B

8．如图所示，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE

解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.

答案：C

9．(2019·高考北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________．

解析：把其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，共有三种情况．对三种情况逐一验证．①②作为条件，③作为结论时，还可能l∥α或l与α斜交；①③作为条件，②为结论和②③作为条件，①为结论时，容易证明成立．

答案：若l⊥m，l⊥α，则m∥α(答案不唯一)

10．在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG垂直的是________．(填序号)

解析：如图所示，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项①②③中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项④中的直线BD1与平面EFG不垂直，不满足题意．

答案：①②③

11．如图所示，△ABC和△BCE是边长为2的正三角形，且平面ABC⊥平面BCE，AD⊥平面ABC，AD＝2.

证明：DE⊥BC.

证明：取BC的中点F，连接AF，EF，BD，DF，

因为△BCE是正三角形，所以EF⊥BC.

又因为平面ABC⊥平面BCE，且交线为BC，所以EF⊥平面ABC.

又因为AD⊥平面ABC，所以AD∥EF，所以D，A，F，E共面．

易知在正三角形ABC中，AF⊥BC，AF∩EF＝F，

所以BC⊥平面DAFE.又因为DE⊂平面DAFE，故DE⊥BC.

12．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别为BB1，AC的中点．

(1)求证：BF∥平面A1EC；

(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.

证明：(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，

在正三棱柱ABC­A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.

又因为F为AC中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.因为点E为BB1中点，

所以BE∥CC1且BE＝CC1，

所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.

又因为BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，

所以BF∥平面A1EC.

(2)由(1)知BF∥OE，因为AB＝CB，F为AC中点，所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.

又因为AA1⊥底面ABC，

而BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF.

由BF∥OE，得OE⊥AA1，

而AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，

所以OE⊥平面ACC1A1.

因为OE⊂平面A1EC，

所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.

[B组　素养提升练]

1．(2020·河北沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P­ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABCDEF，则下列结论不正确的是(　　)

A．CD∥平面PAF

B．DF⊥平面PAF

C．CF∥平面PAB

D．CF⊥平面PAD

解析：选项A中，∵CD∥AF，AF⊂平面PAF，CD⊄平面PAF，∴CD∥平面PAF成立；选项B中，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥平面ABCDEF，∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAF成立；选项C中，CF∥AB，AB⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴CF∥平面PAB；而选项D中CF与AD不垂直．

答案：D

2．在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于________．

解析：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN⊥平面AEFD，过点M作平面α，使α∥平面AEFD，则平面α与正方体表面的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋，所以所求轨迹的周长为2＋.

答案：2＋

3．(2020·河北石家庄质量检测)如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，平面ABB1A1⊥平面ACC1A1.

(1)求证：A1B⊥平面AB1C；

(2)若A1B∩AB1＝O，AB＝2，∠ABB1＝60°，求三棱锥C1­COB1的体积．

解析：(1)证明：因为平面ABB1A1⊥平面ACC1A1，侧面ACC1A1为正方形，所以AC⊥平面ABB1A1，所以A1B⊥AC.

因为侧面ABB1A1为菱形，所以A1B⊥AB1，又AC∩AB1＝A，所以A1B⊥平面AB1C.

(2)因为A1C1∥AC，A1C1⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，

所以A1C1∥平面AB1C.

连接A1C(图略)，则三棱锥C1 ­ COB1的体积等于三棱锥A1 ­ COB1的体积．

因为A1B⊥平面AB1C，所以A1O为三棱锥A1­COB1的高．

因为AB＝2，∠ABB1＝60°，侧面ABB1A1为菱形，所以AB1＝2，A1B＝2，所以OB1＝1，OA1＝，所以S△COB1＝OB1·CA＝×1×2＝1，

所以V三棱锥C1­COB1＝V三棱锥A1­COB1＝A1O·S△COB1＝××1＝.

4．(2021·河南郑州模拟)如图所示，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.

(1)求证：AD⊥PB；

(2)若E在线段BC上，且EC＝BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由．

解析：(1)证明：连接PF，

∵△PAD是等边三角形，F是AD的中点，

∴PF⊥AD.

∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝，

∴BF⊥AD.

又PF∩BF＝F，

∴AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，

∴AD⊥PB.

(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.

由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，

∴BF⊥平面PAD.

又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD.

又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，

∴PF⊥平面ABCD.

连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于点G，∴GH⊥平面ABCD.

又GH⊂平面DEG，

∴平面DEG⊥平面ABCD.

∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，

∴＝＝，

∴＝＝，

∴GH＝PF＝，

∴VD­CEG＝VG­CDE＝S△CDE·GH＝×DC·CE·sin ·GH＝.