高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课时规范练理含解析新人教版

第八章 平面解析几何 第五节 椭圆

[A组　基础对点练]

1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　)

A．     B．(1，2)

C．(－∞，0)∪(1，2)     D．(－∞，－1)∪

解析：依题意得不等式组解得m＜－1或1＜m＜.

答案：D

2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，则b＝(　　)

A．8     B．6

C．5     D．4

解析：由题意可得e＝＝，由椭圆上一点P到两焦点距离之和为12，可得2a＝12，即有a＝6，c＝2，b＝＝4.

答案：D

3．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)

A．1     B．

C．2     D．2

解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，×2cb＝1⇒bc＝1，2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．

答案：D

4．(2020·东北三校联考)若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为，则＝(　　)

A．     B．

C．或     D．或

解析：若焦点在x轴上，则方程化为＋＝1，依题意得＝，所以＝；若焦点在y轴上，则方程化为＋＝1，同理可得＝.所以所求值为或.

答案：D

5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过点F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)

A．＋＝1     B．＋y2＝1

C．＋＝1     D．＋＝1

解析：由已知e＝＝，又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝4，

解得a＝，故c＝1，b＝＝，

故所求的椭圆方程为＋＝1.

答案：A

6．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋OF2)·PF2＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是(　　)

A．4     B．3

C．2     D．1

解析：因为(＋OF2)·PF2＝(＋F1O)·PF2＝F1P·PF2＝0，

所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，

m2＋n2＝12，所以mn＝2，

所以S△F1PF2＝mn＝1.

答案：D

7．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线，与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立解得交点坐标为(0，－2)，，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝.

答案：B

8．(2021·河南林州模拟)已知椭圆E：＋＝1，直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为，则l的方程为(　　)

A．2x＋y＝0　　　　　　 B．x－2y－＝0

C．2x－y－2＝0     D．x－4y－＝0

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式作差并化简整理得＝－·，而x1＋x2＝1，y1＋y2＝－2，所以＝，直线l的方程为y＋1＝，即x－4y－＝0.

答案：D

9．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的倍，则该椭圆的离心率为________．

解析：设|OB|为椭圆中心到l的距离，l与椭圆交于顶点A和焦点F(图略)，则|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.

答案：

10．椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B.若△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．

解析：设椭圆的右焦点为F′，如图所示，由椭圆定义知，

|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.

又△FAB的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF′|＋2a－|BF′|＋|AB|

＝4a－(|AF′|＋|BF′|－|AB|)≤4a，

当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．

此时4a＝12，则a＝3.

故椭圆方程为＋＝1，所以c＝2，

所以e＝＝.

答案：

11．已知点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，若PF1⊥PF2，tan ∠PF2F1＝2，则椭圆的离心率e＝________．

解析：依题意，设|PF2|＝m，则有|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，该椭圆的离心率是e＝＝＝.

答案：

12．(2021·湖南永州模拟)已知动点M到两定点F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0＜m＜2)，且动点M的轨迹曲线C过点N.

(1)求m的值；

(2)若直线l：y＝kx＋与曲线C有两个不同的交点A，B，且·＝2(O为坐标原点)，求k的值．

解析：(1)由0＜m＜2，得2m＜4，可知：曲线C是以两定点F1(－m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2，

设曲线C的方程为＋＝1，

把点N代入得＋＝1，解得b2＝1，由c2＝a2－b2，解得c2＝3，

所以m＝.

(2)由(1)知曲线C的方程为＋y2＝1，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程得

消去y得x2＋2kx＋1＝0，

则有Δ＝4k2－1＞0，得k2＞.

x1＋x2＝－，x1x2＝，

则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)

＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝＝2.

解得k2＝＞，

所以k的值为±.

[B组　素养提升练]

1．(2020·湖北武汉调研)已知A，B分别为椭圆＋＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝x的距离为1，则该椭圆的离心率为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：根据椭圆的标准方程＋＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3，0)，B(3，0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直线y＝x＝x，即x－3y＝0.又点A到直线y＝x的距离为1，∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝.

答案：B

2．(2021·河北三市联考)已知离心率为的椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝.

(1)求此椭圆的方程；

(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1，0)，求k的值．

解析：(1)设焦距为2c，

∵e＝＝，a2＝b2＋c2，

∴＝，

由|AB|＝，易知＝，

∴b＝1，a＝，

∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1.

设C(x1，y1)，D(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

若以CD为直径的圆过E点，则·＝0，

即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝－＋5＝0，

解得k＝，满足k2>1.

3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，满足|AF2|＝c.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别和x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点．若||·||＝4，求椭圆C的方程．

解析：(1)∵点A的横坐标为c，

代入椭圆，得＋＝1.

解得|y|＝＝|AF2|，即＝c，

∴a2－c2＝ac.

∴e2＋e－1＝0，解得e＝.

(2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，

则直线MP的方程为y＝x＋b.

令y＝0，得点R的横坐标为.

直线NP的方程为y＝x－b.

令y＝0，得点Q的横坐标为.

∴||·||＝＝＝a2＝4，

∴c2＝3，b2＝1，

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.