高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布列第六节二项分布正态分布及其应用课时规范练理含解析新人教版

第六节 二项分布、正态分布及其应用

 [A组　基础对点练]

1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则他们同时中靶的概率是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：因为甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，所以P(甲)＝，P(乙)＝，所以他们都中靶的概率是×＝.

答案：A

2．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：三次均反面朝上的概率是＝，所以至少一次正面朝上的概率是1－＝.

答案：D

3．(2021·江西九江模拟)已知随机变量X服从正态分布N(5，4)，且P(X>k)＝P(X<k－4)，则k的值为(　　)

A．6　　　　　　　　　　　 B．7

C．8     D．9

解析：∵＝5，∴k＝7.

答案：B

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)

A．0.648     B．0.432

C．0.36     D．0.312

解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋0.63＝0.648.

答案：A

5．(2020·四川成都模拟)根据历年气象统计资料，某地三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：设事件A表示某地三月份吹东风，事件B表示某地三月份下雨，根据条件概率计算公式可得，在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)＝＝.

答案：B

6．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　)

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%)

A．4.56%     B．13.59%

C．27.18%     D．31.74%

解析：由已知μ＝0，σ＝3.所以P(3<ξ<6)＝[P(－6<ξ<6)－P(－3<ξ<3)]＝(95.44%－68.26%)＝×27.18%＝13.59%.

答案：B

7．(2020·福建厦门模拟)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)

A．　　　  　B．　　　　  C．　　　　 D．

解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C＝.

答案：D

8．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球．不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　)

A．          B．         C．            D．

解析：记“连续两次取球中第一次取到新球”为Ω，记“第一次取到新球，第二次也取到新球”为事件B，

则Ω对应的取法共有：CC＝6×9＝54(种)，

事件B对应的取法有：CC＝6×5＝30(种).

故所求事件的概率为P＝＝.

答案：C

9．(2021·河北唐山模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X＜5)＝0.8，则P(1＜X＜3)＝________．

解析：由正态曲线的对称性可知，P(X＜3)＝P(X＞3)＝0.5，故P(X＞1)＝P(X＜5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X＞1)＝0.2，P(1＜X＜3)＝P(X＜3)－P(X≤1)＝0.5－0.2＝0.3.

答案：0.3

10．(2020·河南洛阳模拟)为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是________．

解析：记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1，2，3)相互独立，则P(Ai)＝＝，

P(Bi)＝＝，

P(Ci)＝＝，i＝1，2，3，

故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.

答案：

11．(2021·贵州模拟)在我校2020届高三11月模拟中理科数学成绩ξ～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤ξ≤120)＝0.8，假设我校参加此次考试有780人，那么试估计此次考试中，我校成绩高于120分的有________人．

解析：因为成绩ξ～N(90，σ2)，所以其正态分布曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤ξ≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78(人).

答案：78

12．二项分布与正态分布是概率统计中两大非常重要的分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从这两大分布，例如检查产品的不合格品数，射击比赛中射中目标的次数等近似服从二项分布；长度的测量误差，零件的尺寸，电子管的使用寿命等服从或近似服从正态分布．并且这两大分布的关系非常密切，经研究表明，如果一个随机变量X服从二项分布B(n，p)，当np>5且n(1－p)>5时，二项分布就可以用正态分布近似替代即P (X≤x)≈P(Y≤x)，其中随机变量Y～N(np，np(1－p))

(1)如果某射手每次射击击中目标的概率为0.6，每次射击的结果相互独立．

①计算他在连续三次射击中恰连续两次命中目标的概率；

②他在10次射击中，击中目标几次的概率最大？并说明理由；

(2)如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，在100次的射击中，记击中目标的次数为η，计算P(68≤η≤92).

参考数据：ξ～N(μ，σ2)，P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 4.

解析：(1)①依题意，设事件A表示击中目标，A表示没有击中目标，B表示连续三次射击中恰连续两次命中目标．

所以P(B)＝P(AAA)＋P(AAA)＝0.6×0.6×0.4＋0.4×0.6×0.6＝0.288.

②在10次射击中，击中6次的概率最大．

10次射击中击中目标k次的概率为Pk＝C0.6k(1－0.6)10－k，

由得，k＝6.

(2)因为E(X)＝100×0.8＝80＞5，D(X)＝100×0.8×0.2＝16＞5，所以近似的η～N(80，16)，

所以P(68≤η≤92)＝P(80－3×4＜η≤80＋3×4)＝0.997 4.

[B组　素养提升练]

1．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：

甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；

乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74.

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是(　　)

A．，　　　　　　　　 B．，

C．，     D．，

解析：由题意知，P(AB)＝×＝，根据条件概率的计算公式得P(A|B)＝＝＝.

答案：A

2．(2020·江西南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率．

解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝＝＝.

3．一次研究性学习有“整理数据”“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班有甲、乙两个小组参加这次研究性学习．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为q.若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等，而且两个小组完成的任务都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．

(1)若q＝，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；

(2)设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为ξ，若ξ的数学期望E(ξ)≥1，求q的取值范围．

解析：(1)设“甲小组完成两项任务”为事件A，“该班荣获‘和谐研究班’”为事件B，

∴P(A)＝＝，P(AB)＝×＝.

∴P(B|A)＝.

(2)该班在一次研究性学习中荣获“和谐研究班”的概率为

P＝[Cq(1－q)]＋q2＝q－q2.

∵ξ～B(4，P)，∴E(ξ)＝4P.

由E(ξ)≥1知×4≥1，解得≤q≤1.

即q的取值范围为.