高考数学一轮复习第十一章基本算法语句及鸭第二节第2课时参数方程课时规范练理含解析新人教版

第二节 第2课时 参数方程

[A组　基础对点练]

1．如图所示，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．

解析：圆的半径为，

记圆心为C，连接CP，

则∠PCx＝2θ，

故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，

yP＝sin 2θ＝sin θcos θ，

所以圆的参数方程为

(θ为参数).

2．若直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求直线的倾斜角α.

解析：直线(t为参数)的普通方程为y＝x tan α.

圆(θ为参数)的普通方程为(x－4)2＋y2＝4.

由于直线与圆相切，则＝2，

即tan2α＝，解得tanα＝±，

由于α∈[0，π)，故α＝或.

3．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)，设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．

解析：直线l的普通方程为x－2y＋8＝0，

因为点P在曲线C上，设P(2s2，2s)，

从而点P到直线l的距离

d＝＝，

当s＝时，dmin＝.

因此当点P的坐标为(4，4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.

4．已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2＋1＝2ρcos θ＋4ρsin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求α的值．

解析：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋1＝0.

(2)将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有t2－4t sin α＝0，

设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4sin α，t1t2＝0.

由|AB|＝|t1－t2|＝＝|t1＋t2|＝4sin α＝2，得sin α＝，所以α＝或α＝.

[B组　素养提升练]

1．(2021·吉林长春质检)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1，2)，点C的极坐标为.若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径．

(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.

解析：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝6sin θ.

(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9，

把代入x2＋(y－3)2＝9，得t2＋(－1)t－7＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7.

又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|·|PB|＝7.

2．(2020·湖南郴州模拟)已知极坐标系中，点M，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为x＝6＋t，

y＝t(t为参数).

(1)求直线l的普通方程与曲线C的参数方程；

(2)求线段MN的中点P到直线l的距离的最小值．

解析：(1)∵直线l的参数方程为(t为参数)，

∴消去参数t得直线l的普通方程为x－y－6＝0.

曲线C的极坐标方程化为ρ2＋2ρ2sin2θ－12＝0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋3y2－12＝0，即＋＝1，

∴曲线C的参数方程为(α为参数).

(2)设N(2cos α，2sin α)(0≤α＜2π)，点M的极坐标化成直角坐标为(4，4)，则P(cos α＋2，sin α＋2)，

∴点P到直线l的距离d＝＝≥2，当且仅当cos ＝1时，等号成立，

∴点P到l的距离的最小值为2.

3．(2020·广州高中综合测试)已知过点P(m，0)的直线l的参数方程是(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝2，求实数m的值．

解析：(1)消去参数t，可得直线l的普通方程为x＝y＋m，即x－y－m＝0.

因为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ.

可得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即x2－2x＋y2＝0.

(2)把代入x2－2x＋y2＝0，

得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0.

由Δ＞0，得－1＜m＜3.

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1·t2＝m2－2m.

因为|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝2，所以m2－2m＝±2，

解得m＝1±.

因为－1＜m＜3，所以m＝1±.

4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin －1.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；

(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|＜|OB|，求－.

解析：(1)由消去参数t，得y＝2x.

由ρ2＝2ρsin －1，得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，

x2＋y2－2x－2y＋1＝0，

即(x－1)2＋(y－1)2＝1，

∴直线l的普通方程为y＝2x，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，曲线C表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆．

(2)将x＝t，y＝t代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得t2－t＋1＝0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝＞0，t1·t2＝1＞0，

∴t1＞0，t2＞0.

∵|OA|＜|OB|，∴－＞0，

∴－＝－＝＝＝＝.