高考数学一轮复习第一章第二节命题及其关系充分条件与必要条件课时作业理含解析北师大版

命题及其关系、充分条件与必要条件

授课提示：对应学生用书第267页

[A组　基础保分练]

1.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（　　）

A.逆命题　　　　　 B.否命题

C.逆否命题  D.否定

解析：命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.

答案：B

2.如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（　　）

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

解析：设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件.

答案：C

3.（2021·九江模拟）原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A.0  B.1

C.2  D.4

解析：当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题.综上所述，真命题有2个.

答案：C

4.（2021·西安模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（　　）

A.a＝b＝1  B.a，b至少有一个为1

C.a＝b＝2  D.a＞1且b＞1

解析：因为a＋b＞ab，所以（a－1）（b－1）＜1.因为a，b∈N＋，所以（a－1）（b－1）∈N，所以（a－1）（b－1）＝0，所以a＝1或b＝1.

答案：B

5.a，b是单位向量，“（a＋b）2＜2”是“a，b的夹角为钝角”的（　　）

A.充要条件  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

解析：（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2a·b＜2⇒a·b＜0，当a·b＜0时，a，b的夹角为钝角或平角；当a，b的夹角为钝角时，a·b＜0成立.所以“（a＋b）2＜2”是“a，b的夹角为钝角”的必要而不充分条件.

答案：C

6.命题“任意x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A.a≥9  B.a≤9

C.a≥10  D.a≤10

解析：命题“任意x∈[1，3]，x2－a≤0”⇔“任意x∈[1，3]，x2≤a”⇔a≥9.则a≥10是命题“任意x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件.

答案：C

7.下列命题：

①“若a≤b，则a＜b”的否命题；

②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；

③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；

④“若x为有理数，则x为无理数”的逆否命题.

其中真命题的序号为（　　）

A.②④  B.①②③

C.②③④  D.①③④

解析：对于①，逆命题为真，故否命题为真；

对于②，原命题为真，故逆否命题为真；

对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；

对于④，“若x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假.

答案：B

8.（2021·玉溪模拟）不等式x－＞0成立的一个充分不必要条件是（　　）

A.－1＜x＜0或x＞1  B.x＜－1或0＜x＜1

C.x＞－1  D.x＞1

解析：由x－＞0可知＞0，即或解得x＞1或－1＜x＜0，不等式x－＞0的解集为{x|x＞1或－1＜x＜0}，故不等式x－＞0成立的一个充分不必要条件是x＞1.

答案：D

9.在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的　　　　条件.

解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件.

答案：充要

10.若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为__________.

解析：由x2－x－6＞0，解得x＜－2或x＞3.

因为“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，

所以{x|x＞a}是{x|x＜－2或x＞3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.

答案：3

[B组　能力提升练]

1.（2021·咸阳模拟）已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件.

答案：A

2.使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（　　）

A.a＋b＞0  B.a－b＞0

C.ab＞1  D.＞1

解析：因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，＞1.

答案：A

3.（2021·贵阳模拟）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以（a－3b）2＝（3a＋b）2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立.

答案：C

4.已知圆C：（x－1）2＋y2＝r2（r＞0），设p：0＜r≤3，q：圆上至多有两个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：对于q，圆（x－1）2＋y2＝r2（r＞0）上至多有两个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，又圆心（1，0）到直线的距离d＝＝2，则r＜2＋1＝3，所以0＜r＜3，又p：0＜r≤3，所以p是q的必要不充分条件.

答案：B

5.（2021·唐山模拟）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为__________.

解析：由x2－2x－8＞0，得x＜－2或x＞4，若由x＜m能得出x＜－2或x＞4，则m≤－2，即m的最大值为－2.

答案：－2

6.集合A＝，B＝{x||x－b|＜a}.若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是__________.

解析：由“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，知当a＝1时，A∩B≠∅.当a＝1时，由题意得A＝（－1，1），B＝（b－1，b＋1），由A∩B≠∅得－1≤b－1＜1或－1＜b＋1≤1，即－2＜b＜2，所以b的取值范围是（－2，2）.

答案：（－2，2）

[C组　创新应用练]

1.（2021·武汉模拟）若x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（　　）

A.[－3，3]

B.（－∞，－3]∪[3，＋∞）

C.（－∞，－1]∪[1，＋∞）

D.[－1，1]

解析：x＞2m2－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，∴（－1，4）（2m2－3，＋∞），∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.

答案：D

2.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即非q是非p的充分不必要条件，故p是q的充分不必要条件.

答案：A

3.A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分.已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格.则下列四个命题中为p的逆否命题的是（　　）

A.若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B.若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C.若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D.若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

解析：根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分.

答案：C