高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性与周期性课时作业理含解析北师大版

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第三节 函数的奇偶性与周期性

授课提示：对应学生用书第275页
[A组　基础保分练]
1.（2021·石家庄模拟）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　）
A.y＝　　　　　　　 B.y＝|x|－1
C.y＝lg x D.y＝
解析：∵函数y＝|x|－1和y＝是偶函数，其中y＝|x|－1在（0，＋∞）上单调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减.
答案：B
2.若函数f（x）＝（x－a）（x＋2）为偶函数，则实数a＝（　　）
A.0 B.1
C.－1 D.2
解析：f（x）＝（x－a）（x＋2）＝x2＋（2－a）x－2a为偶函数，则2－a＝0，即a＝2.
答案：D
3.已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋m，则f（－2）＝（　　）
A.－3 B.－
C. D.3
解析：因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即f（0）＝20＋m＝0，解得m＝－1，则f（－2）＝－f（2）＝－（22－1）＝－3.
答案：A
4.已知函数f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a，b]（a＜b＜0）上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上（　　）
A.有最大值4 B.有最小值－4
C.有最大值－3 D.有最小值－3
解析：根据题意作出y＝f（x）的简图如图所示，由图知，选B.

答案：B
5.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x）.若f（2）＞1，f（7）＝a，则实数a的取值范围为（　　）
A.（－∞，－3） B.（3，＋∞）
C.（－∞，－1） D.（1，＋∞）
解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是定义在R上的以3为周期的周期函数，所以f（7）＝f（7－9）＝f（－2）.又因为函数f（x）是偶函数，
所以f（－2）＝f（2），所以f（7）＝f（2）＞1，
所以a＞1，即a∈（1，＋∞）.
答案：D
6.已知函数y＝f（x），满足y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数，且f（1）＝，设F（x）＝f（x）＋f（－x），则F（3）＝（　　）
A. B.
C.π D.
解析：由y＝f（－x）和y＝f（x＋2）是偶函数知，f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（－x＋2）＝f（x－2），故f（x）＝f（x＋4），则F（3）＝f（3）＋f（－3）＝2f（3）＝2f（－1）＝2f（1）＝.
答案：B
7.若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝__________.
解析：因为f（x）为偶函数，所以f（－x）－f（x）＝0恒成立，所以－xln（－x＋）－xln（x＋）＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即a＝1.
答案：1
8.（2021·乐山模拟）已知函数f（x）满足：f（－x）＋f（x）＝0，且当x≥0时，f（x）＝－1，则f（－1）＝__________.
解析：因为f（－x）＋f（x）＝0，
所以f（x）为奇函数，
又当x≥0时，f（x）＝－1，
则f（0）＝－1＝0，所以m＝－1.
所以当x≥0时，f（x）＝－1，
所以f（－1）＝－f（1）＝－＝.
答案：
9.已知函数f（x）＝是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
解析：（1）设x＜0，则－x＞0，
所以f（－x）＝－（－x）2＋2（－x）＝－x2－2x.
又f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），
于是x＜0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
（2）要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
结合f（x）的图像知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3].
[B组　能力提升练]
1.已知函数f（x）＝asin x＋b＋4，若f（lg 3）＝3，则f＝（　　）
A. B.－
C.5 D.8
解析：因为f（x）＝asin x＋b＋4，则f（－x）＝－asin x－b＋4，所以f（x）＋f（－x）＝8，由于f＝f（－lg 3），因此f（lg 3）＋f（－lg 3）＝8，即3＋f（－lg 3）＝8，所以f（－lg 3）＝5，即f＝f（－lg 3）＝5.
答案：C
2.已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时f（x）＝log2（x＋2）＋x＋b，则|f（x）|＞3的解集为（　　）
A.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
B.（－∞，－4）∪（4，＋∞）
C.（－2，2）
D.（－4，4）
解析：由题意知，f（0）＝1＋b＝0，所以b＝－1，所以f（x）＝log2（x＋2）＋x－1，所以f（2）＝3，且该函数在R上单调递增.因为|f（x）|＞3＝f（2），所以f（x）＞f（2）或f（x）＜－f（2）＝f（－2），所以x＞2或x＜－2.
答案：A
3.设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f等于（　　）
A.－ B.－
C. D.
解析：f＝f＝f＝－f＝－2××＝－.
答案：A
4.（2021·郴州模拟）已知f（x）是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f（x－1）≤f（2x）的解集为（　　）
A. B.
C.[－1，1] D.
解析：因为f（x）是定义在[2b，1－b]上的偶函数，所以2b＋1－b＝0，所以b＝－1，因为f（x）在[2b，0]上为增函数，即函数f（x）在[－2，0]上为增函数，故函数f（x）在（0，2]上为减函数，则由f（x－1）≤f（2x），可得|x－1|≥|2x|，即（x－1）2≥4x2，
解得－1≤x≤.又因为定义域为[－2，2]，所以解得综上，－1≤x≤.
答案：B
5.已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，则对任意实数a，b，“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x）＝f（|x|），由于f（x）在[0，＋∞）上单调递增，因此若a＞|b|≥0，则f（a）＞f（|b|），即f（a）＞f（b），所以a＞|b|是f（a）＞f（b）的充分条件；若f（a）＞f（b），则f（|a|）＞f（|b|），可得|a|＞|b|≥0，由于a，b的正负不能判断，因此无法得到a＞|b|，则a＞|b|不是f（a）＞f（b）的必要条件，所以“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充分不必要条件.
答案：A
6.函数y＝f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x＋2）是偶函数，则下列结论成立的是（　　）
A.f（1）＜f＜f
B.f＜f（1）＜f
C.f＜f＜f（1）
D.f＜f（1）＜f
解析：因为函数f（x＋2）是偶函数，所以f（x＋2）＝f（－x＋2），
所以函数f（x）的图像关于x＝2对称，
所以f＝f，f＝f.
因为y＝f（x）在[0，2]上单调递增，且＜1＜，
所以f＜f（1）＜f，即f＜f（1）＜f.
答案：B
7.定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（2－x）及f（x）＝－f（－x），且在[0，1]上有f（x）＝x2，则f＝__________.
解析：函数f（x）的定义域是R，f（x）＝－f（－x），所以函数f（x）是奇函数.又f（x）＝f（2－x），所以f（－x）＝f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），故函数f（x）是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f＝－f.因为在[0，1]上有f（x）＝x2，所以f＝＝，故f＝－.
答案：－
8.（2021·柳州模拟）已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x＋6）＋f（x）＝2f（3），y＝f（x－1）的图像关于点（1，0）对称且f（2）＝4，则f（22）＝__________.
解析：因为y＝f（x－1）的图像关于点（1，0）对称，所以y＝f（x）的图像关于点（0，0）对称，即函数f（x）为奇函数，由f（x＋6）＋f（x）＝2f（3）得，f（x＋12）＋f（x＋6）＝2f（3），所以f（x＋12）＝f（x），T＝12，因此f（22）＝f（－2）＝－f（2）＝－4.
答案：－4
9.已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）＋f（－x）＝0，f（x－1）＝f（x＋1），若当x∈[0，1）时，f（x）＝ax＋b（a＞0且a≠1），且f＝.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数g（x）＝f2（x）＋f（x）的值域.
解析：（1）因为f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），即f（x）是奇函数.
因为f（x－1）＝f（x＋1），所以f（x＋2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
所以f（0）＝0，即b＝－1.
又f＝f＝－f＝1－＝，
解得a＝.
（2）当x∈[0，1）时f（x）＝ax＋b＝－1∈，
由f（x）为奇函数知，当x∈（－1，0）时，f（x）∈，
又因为f（x）是周期为2的周期函数，
所以当x∈R时，f（x）∈，
设t＝f（x）∈，
所以g（x）＝f2（x）＋f（x）＝t2＋t＝－，
即g（x）＝－∈.
故函数g（x）＝f2（x）＋f（x）的值域为.
[C组　创新应用练]
1.（2021·兰州模拟）对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数（例如[3.4]＝3，[－3.4]＝－4等）.设函数f（x）＝x－[x]，给出下列四个结论：①f（x）≥0；②f（x）＜1；③f（x）是周期函数；④f（x）是偶函数.其中正确结论的个数是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
解析：由题意有[x]≤x＜[x]＋1，∴f（x）＝x－[x]≥0，且f（x）＜1，∴①②正确；∵f（x＋1）＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－（[x]＋1）＝x－[x]＝f（x），∴f（x）为周期函数，③正确；∵f（－0.1）＝－0.1－[－0.1]＝－0.1－（－1）＝0.9，f（0.1）＝0.1－[0.1]＝0.1－0＝0.1≠f（－0.1），∴f（x）不是偶函数，④错误.
答案：C
2.（2019·高考全国卷Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0，1] 时，f（x）＝x（x－1）.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则m的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
解析：当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x－1），∴当x∈（0，1]时，f（x）∈.
∵f（x＋1）＝2f（x），∴当x∈（－1，0]时，x＋1∈（0，1]，f（x）＝f（x＋1）＝（x＋1）x，f（x）∈；
当x∈（－2，－1]时，x＋1∈（－1，0]，f（x）＝f（x＋1）＝f（x＋2）＝（x＋2）（x＋1），f（x）∈；
…；
当x∈（1，2]时，x－1∈（0，1]，f（x）＝2f（x－1）＝2（x－1）（x－2），f（x）∈；
当x∈（2，3]时，x－1∈（1，2]，f（x）＝2f（x－1）＝4f（x－2）＝4（x－2）（x－3），f（x）∈[－1，0]；
….
f（x）的图像如图所示.

若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则有2＜m≤3.
设f（m）＝－，则4（m－2）（m－3）＝－，
∴m＝或m＝.结合图像可知，当m≤时，符合题意.
答案：B
3.（2021·湘潭模拟）已知定义在R上的偶函数y＝f（x＋2）的图像连续，当x＞2时，函数y＝f（x）是单调函数，则满足f（x）＝f的所有x之积为__________.
解析：因为函数y＝f（x＋2）是连续的偶函数，所以直线x＝0是它的图像的对称轴，所以直线x＝2就是函数y＝f（x）图像的对称轴.因为f（x）＝f，所以x＝1－或x＋1－＝4.由x＝1－，得x2＋3x－3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以x1x2＝－3；由x＋1－＝4，得x2＋x－13＝0，设方程的两根为x3，x4，所以x3x4＝－13.所以x1x2x3x4＝39.
答案：39