高考数学一轮复习第二章第九节导数概念及其运算定积分课时作业理含解析北师大版

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第二章 第九节 导数概念及其运算、定积分授课提示：对应学生用书第287页[A组　基础保分练]1.(sin x－acos x)dx＝2，则实数a等于(　　)A．－1　　　　　　　　　 B．1C．－2  D．2解析：由题意知(－cos x－asin x)|0＝1－a＝2，a＝－1.答案：A2．函数f(x)＝exln x在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)A．y＝2e(x－1)  B.y＝ex－1C．y＝e(x－1)  D．y＝x－e解析：f(1)＝0，∵f′(x)＝ex，∴f′(1)＝e，∴切线方程是y＝e(x－1)．答案：C3．(2021·南昌模拟)已知f(x)在R上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋e－x－xf′(1)·(ex－e－x)，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝(　　)A．4e2＋4e－2  B.4e2－4e－2C．0  D．4e2解析：函数f(－x)＝e－x＋ex－(－x)f′(1)·(e－x－ex)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数，两边对x求导数，得－f′(－x)＝f′(x)．即f′(－x)＝－f′(x)，则f′(x)是R上的奇函数，则f′(0)＝0，f′(－2)＝－f′(2)，即f′(2)＋f′(－2)＝0，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝0.答案：C4．曲线y＝ax在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0，则a＝(　　)A.  B.2C．ln 2  D．ln 解析：由题意知，y′＝axln a，则在x＝0处，y′＝ln a，又切点为(0，1)，∴切线方程为xln a－y＋1＝0，∴a＝.答案：A5．设函数f(x)＝x＋＋b，若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，则ab＝(　　)A．1  B.0C．－1  D．－2解析：由题意可得，f(a)＝a＋＋b，f′(x)＝1－，所以f′(a)＝1－，故切线方程是y－a－－b＝(x－a)，将(0，0)代入得－a－－b＝(－a)，故b＝－，故ab＝－2.答案：D6．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像．那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是(　　)解析：由y＝f′(x)的图像知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C.又由图像知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图像在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图像在x＝x0处的切线的斜率相同，故排除B.答案：D7．(2021·天津模拟)已知函数f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(1)＝－2，则a的值为________．解析：∵f(x)＝(x2－a)ln x(x＞0)，∴f′(x)＝2xln x＋，∴f′(1)＝1－a＝－2，得a＝3.答案：38．已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝x3－ln x，则曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线的斜率为________．解析：因为当x＞0时，f(x)＝x3－ln x，所以当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x3－ln(－x)．因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝x3＋ln(－x)，则f′(x)＝3x2＋，所以f′(－1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(－1，－1)处的切线的斜率为2.答案：29．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．解析：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)·(x－x0)，又切线过点A(2，－2)，∴－2－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)(2－x0)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.10．(2021·淮南模拟)已知函数f(x)＝x2－ln x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)在函数f(x)＝x2－ln x的图像上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2∈，不妨设x1＜x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得＝－1，又函数f′(x)＝2x－在区间上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x1－＜2x2－≤1，据此有解得x1＝，x2＝1，故存在两点，(1，1)满足题意．[B组　能力提升练]1．(2021·南阳模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f(e)＝(　　)A．e  B.－C．－1  D．－e解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝－，故f(x)＝－x＋ln x，所以f(e)＝－1.答案：C2．(2021·保定模拟)设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为(　　)A．2  B.C．4  D．－解析：因为曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，所以g′(1)＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝g′(1)＋2＝4.答案：C3．(2021·广州模拟)已知过点A(a，0)作曲线C：y＝x·ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)  B.(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)解析：对y＝x·ex求导得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex.设切点坐标为(x0，x0ex0)，则过点A(a，0)的切线斜率k＝(1＋x0)ex0＝，化简得x－ax0－a＝0.依题意知，上述关于x0的二次方程x－ax0－a＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)＞0，解得a＜－4或a＞0.答案：A4．(2021·宣城模拟)若曲线y＝aln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　)A.  B.C.  D.解析：因为y＝aln x＋x2(a＞0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，因为＝2，所以a＝.答案：B5．已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．解析：y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.答案：6．(2021·乌鲁木齐模拟)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝x＋m与曲线y＝asin x＋bcos x(a，b，m∈R)相切于点(0，1)，则的值为________．解析：根据题意，若直线y＝x＋m与曲线y＝asin x＋bcos x(a，b，m∈R)相切于点(0，1)，则点(0，1)为直线y＝x＋m与曲线y＝asin x＋bcos x的交点，则1＝0＋m且1＝asin 0＋bcos 0，解得m＝1，b＝1.由y＝asin x＋bcos x，得y′＝a·cos x－b·sin x，所以当x＝0时，y′＝a·cos 0－b·sin 0＝1，解得a＝1，则＝＝2.答案：27．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以a的取值范围为∪.[C组　创新应用练]1．给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M(　　)A．在直线y＝－3x上B．在直线y＝3x上C．在直线y＝－4x上D．在直线y＝4x上解析：f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，结合题意知4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．答案：B2．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝(　　)A．26  B.29C．212  D．215解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.答案：C3．(2021·长春模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x与直线x＝1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥＝πx2dx＝0＝.据此类比：将曲线y＝2ln x与直线y＝1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的体积V＝________．解析：类比已知结论，将曲线y＝2ln x与直线y＝1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为π(e)2＝πey，积分变量为y，积分区间为[0，1]，即V＝0＝π(e－1)．答案：π(e－1)