高考数学一轮复习第三章第五节y＝Asinωx＋φ的图像及应用课时作业理含解析北师大版

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y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用授课提示：对应学生用书第309页[A组　基础保分练]1．将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图像的解析式为（　　）A．y＝sin　　　 B．y＝sinC．y＝sin  D．y＝sin解析：函数y＝sin的图像所有点的横坐标伸长为原来的2倍得y＝sin的图像，再将所得图像向右平移个单位长度得y＝sin＝sin的图像．答案：B2．（2020·高考全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝cos在[－π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为（　　）A．  B．C．  D．解析：由题图知解得＜T＜，排除选项A，D．法一：若T＝，则|ω|＝＝，经检验，此时f≠0，排除选项B．故选C．法二：由题图知－是函数的零点，且图像在零点附近上升，所以－ω＋＝2kπ－，k∈Z，得ω＝－＋，k∈Z．当T＝时，|ω|＝＝，此时k∉Z，排除选项B．当T＝时，|ω|＝＝，此时k＝0，符合题意．答案：C3．（2021·衡水模拟）设函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）对任意的x∈R，都有f＝f，若函数g（x）＝sin（ωx＋φ）＋cos（ωx＋φ）＋2，则g的值是（　　）A．2  B．0C．2或4  D．1或3解析：∵f＝f，∴f（x）的图像关于直线x＝对称．∴f＝2cos＝±2，即cos＝±1．∴g＝cos＋2．当cos＝1时，原式＝3；当cos＝－1时，原式＝1．答案：D4．（2021·湖南株洲模拟）若函数f（x）＝cos－a恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是（　　）A．  B．C．  D．解析：由题意得方程cos＝a有三个不同的实数根．画出函数y＝cos的大致图像，如图所示． 由图像得，当≤a<1时，方程cos＝a恰好有三个不同的实数根．令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z．当k＝0时，x＝．不妨设x1<x2<x3，由题意得点（x1，0），（x2，0）关于直线x＝对称，所以x1＋x2＝．又结合图像可得π≤x3<，所以≤x1＋x2＋x3<．故x1＋x2＋x3的取值范围为．答案：A5．（2021·河南郑州三测）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图像如图所示，要使f（a＋x）－f（a－x）＝0成立，则a的最小正值为（　　） A．  B．C．  D．解析：由函数图像可得，函数的最大值为2，即A＝2．因为函数图像过点（0，1），即f（0）＝1，所以sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝．故f（x）＝2sin．因为函数图像过点，所以f＝0，即2sin＝0，又x＝在函数f（x）的增区间内，所以令ω＋＝2kπ（k∈Z），解得ω＝（k∈Z）．由函数图像可得最小正周期T>，即>，解得ω<．又ω>0，故k＝1，从而ω＝＝2．所以f（x）＝2sin．由f（a＋x）－f（a－x）＝0，得f（a＋x）＝f（a－x），所以该函数图像的对称轴为直线x＝a．令2a＋＝nπ＋（n∈Z），解得a＝π＋（n∈Z）．要求a的最小正值，只需n＝0，得a＝．答案：B6．（2021·衡水中学调考）已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图所示，其中M（m，0），N（n，2），P（π，0），且mn<0，则f（x）在下列区间中具有单调性的是（　　）A．B．C．D．解析：因为mn<0，所以m，n异号，根据图像可得m<0，n>0，又P（π，0），所以T>π且<π，即π<T<；①当周期无限接近π时，图中的最低点自左向右无限接近，所以f（x）在区间上先减后增，不单调，故选项D错误；②当周期无限接近又小于时，图中最高点N的横坐标大于0小于，所以f（x）在区间上先增后减，不单调，故选项A错误；图中最低点的横坐标大于小于，f（x）在区间上先减后增，不单调，故选项C错误．答案：B7．（2021·福州期末测试）将函数y＝2sin x＋cos x的图像向右平移φ个单位长度，得到函数y＝2sin x－cos x的图像，则sin φ的值为_________．解析：因为y＝2sin x＋cos x＝sin（x＋θ），所以y＝2sin x－cos x＝sin（x－θ），其中cos θ＝，sin θ＝，所以φ＝2θ，所以sin φ＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝．答案：8．（2021·扬州七校联考）设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则A＋ω＋φ＝_________．解析：由题图可知A＝2，＝－，则T＝2π，ω＝1．再根据f＝2，得sin＝1，则＋φ＝＋2kπ（k∈Z），即φ＝＋2kπ（k∈Z）．又－<φ<，所以φ＝．因此A＋ω＋φ＝3＋．答案：3＋9．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像过点P，图像上与点P最近的一个最高点是Q．（1）求函数的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间．解析：（1）依题意得A＝5，周期T＝4＝π，所以ω＝＝2．故y＝5sin（2x＋φ），又图像过点P，所以5sin＝0，由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，所以y＝5sin．（2）由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．10．已知函数f（x）＝sin＋sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）＝f，求函数g（x）在上的值域．解析：（1）f（x）＝sin＋sin2x＝＋sin2x＝sin 2x＋cos 2x＋sin2x＝sin 2x＋cos2x－＋sin2x＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋，所以f（x）的最小正周期T＝＝π．（2）因为函数g（x）对任意x∈R，有g（x）＝f，所以g（x）＝sin＋＝sin＋．当x∈时，2x＋∈，则－≤sin≤1，则－×＋≤g（x）≤＋，即≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在上的值域为．[B组　能力提升练]1．若将函数f（x）＝sin图像上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g（x）的图像，则函数g（x）的单调递增区间为（　　）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）解析：将函数f（x）＝sin图像上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin＝sin（2x＋π）＝－sin 2x的图像，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ（k∈Z），可得＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z），因此函数g（x）的单调递增区间为（k∈Z）．答案：A2．将函数g（x）＝2sin x＋1的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数f（x）的图像，若f（x1）＝f（x2）＝3，且－π≤x2<x1≤π，则x1－2x2的值为（　　）A．π  B．C．  D．解析：易求得f（x）＝2sin＋1，因为f（x1）＝f（x2）＝3，即sin＝1，所以2x＋＝2kπ＋（k∈Z），所以x＝＋kπ（k∈Z），由－π≤x2<x1≤π，得x2＝－，x1＝，则x1－2x2＝－2×＝．答案：D3．设ω>0，函数y＝sin（ωx＋φ）（－π<φ<π）的图像向左平移个单位长度后，得到如图所示的图像，则ω，φ的值为（　　）A．ω＝2，φ＝  B．ω＝2，φ＝－C．ω＝1，φ＝－  D．ω＝1，φ＝解析：函数y＝sin（ωx＋φ）（－π<φ<π）的图像向左平移个单位长度后可得y＝sin．由函数的图像可知，＝－＝，所以T＝π．根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin．由图知当y＝－1时，x＝×＝，所以函数的图像过，所以sin＝－1．因为－π<φ<π，所以φ＝．答案：A4．（2021·南昌模拟）将函数f（x）＝sin  ωx（ω>0）的图像向左平移个单位得到函数g（x）的图像，若函数g（x）的图像关于直线x＝ω对称且在区间（－ω，ω）内是增加的，则ω的值为（　　）A．  B．C．  D．解析：由题意得g（x）＝sin．因为g（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以g（ω）必是函数g（x）一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以w2＝＋2kπ，k∈Z，又ω－（－ω）≤，即ω2≤，所以ω2＝，所以ω＝．答案：A5．（2021·长春质检）将函数f（x）＝sin ωx（其中ω>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值为_________．解析：函数向右平移个单位长度得到函数g（x）＝f＝sin＝sin．因为g（x）过点，所以sin＝0，即ω＝＝kπ，k∈Z．所以ω＝k，又因为ω>0，所以ω的最小值为．答案：6．（2021·武汉调研）函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图所示，给出以下结论：①f（x）的最小正周期为2；②f（x）图像的一条对称轴为直线x＝－；③f（x）在，k∈Z上是减函数；④f（x）的最大值为A．则正确的结论为_________．（填序号）解析：由题图可知，函数f（x）的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f（x）的图像过点和，所以函数f（x）图像的对称轴为直线x＝×＋＝＋k（k∈Z），故直线x＝－不是函数f（x）图像的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT（k∈Z），即2k－≤x≤2k＋（k∈Z）时，f（x）是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．答案：①③7．已知函数f（x）＝sin（ω>0）的图像与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图像向左平移m（m>0）个单位长度得到函数g（x）的图像恰好经过点，求当m取得最小值时，g（x）在上的单调递增区间．解析：（1）函数f（x）的图像与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f（x）的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，故函数f（x）的解析式为f（x）＝sin．（2）将f（x）的图像向左平移m（m>0）个单位长度得到函数g（x）＝sin＝sin的图像，根据g（x）的图像恰好经过点，可得sin＝0，即sin＝0，所以2m－＝kπ（k∈Z），m＝＋（k∈Z），因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为．此时，g（x）＝sin．因为x∈，所以2x＋∈．当2x＋∈，即x∈时，g（x）单调递增，当2x＋∈，即x∈时，g（x）单调递增．综上，g（x）在区间上的单调递增区间是和．[C组　创新应用练]1．（2021·武汉市高三二调）函数f（x）＝2sin（ω>0）的图像在[0，1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为（　　）A．[2π，4π]  B．C．  D．解析：法一：由函数f（x）在[0，1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图像可知ω＋∈，则≤ω<．法二：取ω＝2π，则f（x）＝2sin，故2πx＋＝＋2kπ，k∈Z，得x＝＋k，k∈Z，则在[0，1]上只有x＝，不满足题意，排除A，B，D．答案：C2．（2021·济南模拟）已知函数f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1．（1）若函数f（x）的图像关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f（x）的单调递增区间；（2）在（1）的条件下，当x∈时，函数f（x）有且只有一个零点，求实数b的取值范围．解析：（1）函数f（x）＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin＋＋b．因为函数f（x）的图像关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），所以函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．（2）由（1）知f（x）＝sin＋＋b．因为x∈，所以2x＋∈．当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递增；当2x＋∈，即x∈时，函数f（x）单调递减．又f（0）＝f，所以当f>0≥f或f＝0时，函数f（x）有且只有一个零点，即sin≤－b－<sin或1＋＋b＝0，所以b∈∪．