高考数学一轮复习第三章第七节解三角形应用举例课时作业理含解析北师大版

第七节 解三角形应用举例

授课提示：对应学生用书第313页

[A组　基础保分练]

1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于（　　）

A．10°　　　　　　　 B．50°

C．120°  D．130°

解析：由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，

∴∠BAC＝60°＋70°＝130°．

答案：D

2．如图所示，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α（α＜β），则A点距地面的高AB等于（　　）

A．

B．

C．

D．

解析：由AB＝ACsin β，＝＝，

得AB＝．

答案：A

3．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于（　　）

A．240（－1）m  B．180（－1）m

C．120（－1）m  D．30（＋1）m

解析：如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60（m）．

在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan 15°＝60（2－）（m）．

所以BC＝CD－BD＝60－60（2－）＝120（－1）（m）．

答案：C

4．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为（　　）

A．15米  B．5米

C．10米  D．12米

解析：如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h．

在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h．

在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，

由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，

即（h）2＝h2＋102－2h×10×cos 120°，

∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5（舍）．

答案：C

5．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25  m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝_________．

解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－（15°＋θ）－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－（45°－θ）－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin 15°＝100×sin（45°－30°）＝25（－1），又＝．即＝，得到cos  θ＝－1．

答案：－1

6．（2021·河北衡水模拟）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD为边BC上的高，点E满足＝3，若AB＝m，则BE的长为_________．

解析：因为△ABC是等腰三角形，∠BAC＝120°，AD⊥BC，所以∠ABC＝30°，∠BAD＝60°，又因为AB＝m，所以AD＝ m，由＝3 ，得AE＝m，在△ABE中，AB＝m，AE＝m，∠BAE＝60°，

所以由余弦定理，得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE ·cos∠BAE＝m2＋m2－2m×m×cos 60°＝m2，所以BE＝m．

答案：m

7．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°（A，B，C，D在同一平面内），求两目标A，B之间的距离．

解析：在△ACD中，∠ACD＝120°，

∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝．

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝．

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝（）2＋－2×××cos 75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝，

所以A，B两目标之间的距离为 km．

8．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s．某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的高度为多少米？（取≈1．4，≈1．7）

解析：如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，AB＝50×420＝21 000（m）．

又在△ABC中，＝，

所以BC＝×sin 15°＝10 500（－）．

因为CD⊥AD，

所以CD＝BC·sin∠DBC＝10 500（－）×＝10 500（－1）≈7 350（m）．

故山顶的高度为10 000－7 350＝2 650（m）．

[B组　能力提升练]

1．（2021·云南红河州质检）如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　）

A．5

B．15

C．5

D．15

解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°．

由正弦定理得＝，所以BC＝15．

在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15．

答案：D

2．（2021·衡阳模拟）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（　　）

A．7 km  B．8 km

C．9 km  D．6 km

解析：在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，即AC2＝25＋64－2×5×8cos B＝89－80cos              B．在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos D，即AC2＝25＋9－2×5×3cos D＝34－30cos              D．因为∠B与∠D互补，所以cos B＝－cos D，所以－＝，解得AC＝7 km．

答案：A

3．（2021·武汉武昌区调研）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（　　）

A．14 h  B．15 h

C．16 h  D．17 h

解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置（图略），在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15（h）．

答案：B

4．（2021·天津模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（　　）

A．10 海里  B．10 海里

C．20 海里  D．20 海里

解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10（海里）．

答案：A

5．一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为　　　　km．

解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60（km），∠MAB＝30°，

∠AMB＝45°．

在△AMB中，

由正弦定理得＝，

解得BM＝30（km）．

答案：30

6．（2021·皖中名校联考）如图所示，位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°＋θ（0°＜θ＜45°）的C处，AC＝10海里．在离观测站A的正南方某处D，tan∠DAC＝－7．

（1）求cos θ；

（2）求该船的行驶速度v（海里/时）．

解析：（1）∵tan∠DAC＝－7，

∴sin∠DAC＝－7cos∠DAC．

∵sin2∠DAC＋cos2∠DAC＝1，

∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝－，

∴cos θ＝cos（135°－∠DAC）

＝－cos∠DAC＋sin∠DAC

＝－×＋×

＝．

（2）由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos θ，

∴BC2＝（10）2＋（20）2－2×10×20×＝360，

∴BC＝6 海里．∵t＝20分钟＝小时，

∴v＝＝18 海里/时．

[C组　创新应用练]

1．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（　　）

A．50 米　　　　　　　　 B．50 米

C．50 米  D．50 米

解析：设该扇形的半径为r米，连接CO．

由题意，得CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°．

在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，

即1502＋1002－2×150×100×＝r2，

解得r＝50．

答案：B

2．如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）？

解析：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．

因为MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ）．

在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．

AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2（120°－θ）＋4－2×2×sin（120°－θ）cos（60°＋θ）＝sin2（θ＋60°）－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4

＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋＝－sin（2θ＋150°），θ∈（0°，120°）．

当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．